[拼音]：diancichang de baojabianhuan

[外文]：conformal mapping in electromagnetic field

数学上规定复平面z和复平面ω之间的变换ω＝f(z)是导数f′(z)厵0的各点处是保角变换，它是求解二维电磁场问题的一种有力工具。例如两个平行的柱形电极，当长度远大于间距、从而可以忽略柱体的末端效应时，就可近似为二维问题。保角变换可应用于：静电、静磁问题，包括传输线（即横电磁场）问题；具有复杂边界的导波系统问题；以及电磁场的反演问题。

静电、静磁问题的应用甚广，在电源或磁源以外的区域，二维问题的电场强度或磁场强度等于某一静势函数的梯度，后者满足二维拉普拉斯方程，其解称为(圆)调和函数，记为u(x，y)，则

设复变数z＝x＋jy，则根据已知的u(x，y)，总可以找到另一个调和函数v＝v(x，y)，构成解析函数

ω(z)＝u＋jv

z＝x＋jy

称u和v为共轭函数，ω为复势函数。可以证明v也满足二维拉普拉斯方程并且在 z复平面上的等值线是两簇互相正交的曲线。若选其中的一簇为等势线，则另一簇就代表力线（电力线、磁力线），相应地称这两簇曲线所对应的函数为势函数和流函数（通量函数）。

若能找到两个共轭函数，其中一个函数的等值线恰好和所研究的电极边界重合，则另一个函数的等值线即代表由电极发出的电力线。因而，根据电力线的流函数就可以计算出电极表面所带的电荷量，从而可以计算场分布和电容量等。例如平板电容器二维边缘场的分析（图1a）。设两极板的电位分别为±1伏，间距为2(长度单位)，置于z-平面中(z＝x＋jy)，根据对称 ，只需分析上半平面(y＞0)的场。利用解析函数

的保角变换(t＝ξ＋jη)，使z-平面上由点l、m、n连成的多角形变换成以点l′、m′、n′连线为界的上半t－平面（图1b）。已知后者的复势函数为

故平板电容器的复势函数满足关系式

据此可得出在z－平面内的等势线（u＝常数）和电力线（v＝常数）的曲线方程。

某些边界形状较复杂的导波系统，经保角变换可变换成一个较易处理的简单边界形状。例如利用 H波导的电磁场解描述沟槽形波导（图2）的电磁场时就需要用保角变换。

在电磁场反演问题中，由已知远区场推算电磁场源的距离、方向和形状时，可采用保角变换，将已知二维闭合曲线的外域变换成单位圆的外域，并利用变换函数以及远区场两者的劳伦茨级数展开式的系数关系，可以得出解的低频估计。

在具体问题中，根据预给的势函数或流函数，去寻找合适的共轭函数并不容易。对于场域具有多角形边界的问题，施瓦茨变换是一种很有用的方法。它把一个复平面上由实轴和 大的圆弧所围成的上半平面变换到另一复平面上的多角形内域，或反之。对于除了平角和零角之外只含一、二个正角的多角形，施瓦茨变换是初等解析函数；当正角增加到三、四个，变换与椭圆积分及椭圆函数有关。椭圆函数属于双周期解析函数，常应用于分析带状线等特种截面传输线。

参考书目

林为干:《微波理论与技术》，科学出版社，北京，1979。

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