[拼音]：mohuji

[外文]：fuzzy sets

论域X＝{x}上的模糊集峎是指x中由隶属函数表征的元素全体，在实轴的闭区间[0，1]中取值，的大小反映 x对模糊集 A的从属程度。所讨论的全体对象组成的普通 称为论域或空间。普通 X的元素是分明的,即对于任何元素只存在属于或不属X这两种情况,二者必居其一，而只有X的子集峎 才是模糊的。所以模糊 通常是指模糊子集。L.A.扎德于1965年首先提出模糊集的概念。他指出，人思维的一个重要特点是按模糊集的概念归纳信息。随着计算机技术的发展，人们求解复杂问题的能力越来越强。在建立复杂问题的数学模型时，不可避免地要涉及事物的不确定 。不确定 包括随机 和模糊 。随机 是指事件发生与否的不确定 ，已由概率论完善地加以研究。模糊 则指事物本身从属概念的不确定 。模糊集的概念一经提出，便在理论和应用两个方面得到迅速发展。模糊集理论已应用到系统科学、自动控制、信息处理、人工智能、模式识别、医疗诊断、天气预报、地震研究、农作物选种、体育训练、化合物分类以及经济学、心理学、社会学、语言学、生态学、管理学、法学和哲学等广泛领域。

设论域X＝{x}，则映射

确定X上的一个模糊子集峎，称为峎 的隶属函数，数称为x0对峎 的隶属度。

模糊子集峎完全由其隶属函数所刻划。接近1，表示x从属于峎 的程度很高；接近0,表示x从属于峎 的程度很低。特别当的值仅取闭区间的两个端值{0，1}时，模糊子集峎 便退化成为X 的一个普通子集。因此，模糊集是普通 概念的推广。

两个模糊子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作相应的运算。其基本运算可定义如下：

（1）等价关系：两个模糊集峎和是等价的,记为峎呏，是指当且仅当对任何x ∈X，成立。

（2）包含关系：模糊集峎包含于模糊集中,或称峎是的子集,记为峎 嶅,是指当且仅当对任何x ∈X，成立。

（3）补集：模糊集峍 是峎 的补集，是指当且仅当对任何x ∈X，成立。

（4）并集：两个模糊集峎 和的并集记为峎∪，定义为包含峎 和的很小模糊集。峎 ∪的隶属函数定义为，常简写。

（5）交集：两个模糊集峎和的交集峎∩定义为同是这两个 的子集的很大模糊集。峎∩的隶属函数定义为,常简写成。

它是模糊集与普通 相互转化的一个重要概念。λ水平截集的定义为：设给定模糊集峎,对任意阈值λ∈[0，1]，称普通

为峎 的λ水平截集。取模糊集峎 的λ水平截集Aλ,就是将隶属函数转化为特征函数：

设峎是论域X 的一个模糊子集,Aλ是峎 的λ水平截集，λ∈[0，1]，则下列分解式成立：

这里∪为并集运算符号，λAλ表示X的一个模糊子集，称为λ与Aλ的积，其隶属函数为：

分解定理也可以写成隶属函数的形式。分解定理把模糊集的问题化为普通 论的问题来解，应用分解定理可把许多在普通 论中成立的基本等式推广到模糊集中去。

设给定映射f:X →Y,则可把它扩展为映射愝:峎 →f(峎)。这里愝称为f的扩展，可简记为f。扩展原理可解释为峎 经过映射f后,其隶属函数可以无保留地传递过去,即经过映射后模糊子集峎 和f(峎)的论域X和Y中的相应元素的隶属度保持不变。若不是单值映射，则规定象的隶属度取很大值。扩展原理是扎德于1975年首先引入的，可作为公理使用。它把普通 论的方法扩展到模糊集中去。分解定理和扩展原理是模糊集理论的基础。

参考书目

A.Kaufman, Introduction to the Theory of Fuzzy Subsets, Academic Press, New York,1975.

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