[拼音]：tongjiliang

[外文]：statistic

样本的已知函数；其作用是把样本中有关总体的信息汇集起来；是数理统计学中一个重要的基本概念。统计量依赖且只依赖于样本x1，x2，…xn;它不含总体分布的任何未知参数。从样本推断总体（见统计推断）通常是通过统计量进行的。例如x1，x2，…，xn是从正态总体N(μ ，1)（见正态分布）中抽出的简单随机样本，其中均值（见数学期望）μ是未知的，为了对μ作出推断，计算样本均值。可以证明，在一定意义下，塣包含样本中有关μ的全部信息，因而能对μ作出良好的推断。这里塣只依赖于样本x1，x2，…，xn，是一个统计量。

有下面几种。

设x1，x2，…，xn是一个大小为n的样本，对自然数 k，分别称 为k阶样本原点矩和k阶样本中心矩， 统称为样本矩。许多最常用的统计量，都可由样本矩构造。例如，样本均值（即α1）和样本方差 是常用的两个统计量，前者反映总体中心位置的信息，后者反映总体分散情况。还有其他常用的统计量，如样本标准差，样本变异系数S/塣，样本偏度，样本峰度等都是样本矩的函数。若(x1，Y1)，(x2，Y2)，…，(xn，Yn)是从二维总体(x，Y)抽出的简单样本，则样本协方差·及样本相关系数

也是常用的统计量，r可用于推断x和Y的相关性。

把样本X1，x2，…，xn由小到大排列，得到，称之为样本x1，x2，…，xn的次序统计量。其中小次序统计量 x(1)较大次序统计量x(n)称为极值，在那些如年枯水量、年较大地震级数、材料的断裂强度等的统计问题中很有用。还有一些由次序统计量派生出来的有用的统计量，如：样本中位数 是总体分布中心位置的一种度量，若样本大小 n为奇数，，若n为偶数，，它容易计算且有良好的稳健性。样本p分位数Zp(0U统计量

这是W.霍夫丁于1948年引进的，它在非参数统计中有广泛的应用。其定义是:设x1，x2，…，xn，为简单样本，m为不超过n的自然数，为m元对称函数，则称

为样本x1，x2，…，xn的以为核的U统计量。样本均值和样本方差都是它的特例。从霍夫丁开始，这种统计量的大样本性质得到了深入的研究，主要应用于构造非参数性的量的一致小方差无偏估计（见点估计），并在这种估计的基础上检验非参数性总体中的有关假设。

把样本 X1，X2，…，Xn 按大小排列为，若 则称Ri为xi的秩，全部n个秩R1，R2，…，Rn构成秩统计量，它的取值总是1，2，…，n的某个排列。秩统计量是非参数统计的一个主要工具。

还有一些统计量是因其与一定的统计方法的联系而引进的。如假设检验中的似然比原则所导致的似然比统计量，K.皮尔森的拟合优度（见假设检验）准则所导致的ⅹ2统计量，线性统计模型中的小二乘法所导致的一系列线性与二次型统计量，等等。

统计量是由样本加工而成的， 在用统计量代替样本作统计推断时，样本中所含的信息可能有所损失，如果在将样本加工为统计量时，信息毫无损失，则称此统计量为充分统计量。例如，从一大批产品中依次抽出n个，若第i次抽出的是合格品，则xi=0，否则xi=1(i=1，2，…，n)。总体分布取决于整批产品的废品率p，可以证明:统计量，即样本中的废品个数，包含了(x1，x2，…，xn)中有关p的全部信息，是一个充分统计量。若取m

充分性是数理统计的一个重要基本概念，它是R.A.费希尔在1925年引进的，费希尔提出，并由J.奈曼和P.R.哈尔莫斯在1949年严格证明了一个判定统计量充分性的方法，叫因子分解定理。这个定理适用面广且应用方便，利用它可以验证很多常见统计量的充分性。例如，若正态总体有已知方差，则样本均值塣是充分统计量。若正态总体的均值、方差都未知，则样本均值和样本方差S2合起来构成充分统计量(塣，S2)。一个统计量是否充分，与总体分布有密切关系。

将样本加工成统计量要求越简单越好。简单的程度的大小，主要用统计量的维数来衡量。简单地讲，若统计量T2是由统计量T1加工而来(即T2是T1的函数)，则T2比T1简单。在此意义上，最简单的充分统计量叫极小充分统计量。这是E.L.莱曼和H.谢菲于1950年提出的。前例中的充分统计量都有极小性。在任何情况下，样本x1，x2，…，xn本身就是一个充分统计量，但一般不是极小的。

关于统计量的另一个重要的基本概念是完全性。设T为一统计量，θ为总体分布参数，若对θ的任意函数g(θ)，基于T的无偏估计至多只有一个（以概率1相等的两个估计量视为相同），则称T为完全的。

统计量的分布叫抽样分布。它与样本分布不同，后者是指样本x1，x2，…，xn的联合分布。

统计量的性质以及使用某一统计量作推断的优良性，取决于其分布。所以抽样分布的研究是数理统计中的重要课题。寻找统计量的精确的抽样分布，属于所谓的小样本理论（见大样本统计）的范围，但是只在总体分布为正态时取得比较系统的结果。对一维正态总体，有三个重要的抽样分布，即ⅹ2分布、t分布和F分布。

设随机变量x1，x2，…，xn是相互独立且服从标准正态分布N(0，1)，则随机变量的分布称为自由度为n的ⅹ2分布(其密度函数及下文的t分布、F分布的密度函数表达式均见概率分布)。这个分布是 F.赫尔梅特于1875年在研究正态总体的样本方差时得到的。若x1，x2，…，xn是抽自正态总体N(μ，&sig ;2)的简单样本，则变量服从自由度为n-1的ⅹ2分布。若x1，x2，…，xn服从的不是标准正态分布，而依次是正态分布N(μi，1)(i=1，2，…，n)，则的分布称为非中心ⅹ2分布，称为非中心参数。 当δ＝0时即前面所定义的ⅹ2分布。为此，有时也称它为中心ⅹ2分布。中心与非中心的ⅹ2分布在正态线性模型误差方差的估计理论中，在正态总体方差的检验问题中(见假设检验)，以及一般地在正态变量的二次型理论中都有重要的应用。

设随机变量ξ，η独立，且分别服从正态分布N(δ，1)及自由度n的中心ⅹ2分布，则变量的分布称为自由度n、非中心参数δ的非中心t分布；当δ＝0时称为中心t分布。若x1，x2，…，xn是从正态总体N（μ ，&sig ;2）中抽出的简单样本，以塣记样本均值，以记样本方差，则服从自由度n-1的t分布。这个结果是英国统计学家W.S.戈塞特(又译哥色特，笔名“学生”)于 1908年提出的。t分布在有关正态总体均值的估计和检验问题中，在正态线性统计模型对可估函数的推断问题中有重要意义，t分布的出现开始了数理统计的小样本理论的发展。

是 R.A.费希尔在20世纪20年代提出的。设随机变量ξ，η独立，ξ服从自由度m、非中心参数δ的非中心ⅹ2分布，η服从自由度n的中心ⅹ2分布，则的分布称为自由度(m，n)、非中心参数δ的非中心F分布，当δ=0时称为中心F 分布。若x1，x2，…，xm和Y1，Y2，…，Yn分别是从正态总体N(μ ，&sig ;2)和N(v，&sig ;2)，中抽出的独立简单样本，以S娝和S娤分别记为诸xi和诸Yi的样本方差，则方差比统计量S娝/S娤服从自由度(m-1，n-1)的中心F分布。中心和非中心的 F分布在方差分析理论中有重要应用。

多维正态总体的重要的抽样分布有维夏特分布和霍特林的T2分布（见多元统计分析）。

一个统计量若服从某分布，常以该分布的名字命名该统计量，如ⅹ2统计量、F统计量、T2统计量等。

由于寻找精确的抽样分布有困难，统计学者转而研究当样本大小 n→∞时统计量的渐近分布(即极限分布)，这种研究是数理统计大样本理论的基础性工作。已经有很多重要的统计方法，就是基于这种工作而提出的。像K.皮尔森关于拟合优度统计量的极限分布是ⅹ2分布的著名结果(1900)就是一个有代表性的例子。

严正声明：本文由历史百科网注册或游客用户浩旷自行上传发布关于» 统计量的内容，本站只提供存储，展示，不对用户发布信息内容的原创度和真实性等负责。请读者自行斟酌。同时如内容侵犯您的版权或其他权益，请留言并加以说明。站长审查之后若情况属实会及时为您删除。同时遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，尊重和保护作者的劳动成果，转载请标明出处链接和本声明内容：作者：浩旷；本文链接：https://www.freedefine.cn/wenzhan/42186.html