[拼音]：Bu’er daishu

[外文]：Boolean algebra

首先是G.布尔为了研究思维规律（逻辑学、数理逻辑）于1847年和1854年提出的。它作为一种特殊的格则是J.W.R.戴德金之后的事情。所谓一个布尔代数，是指一个有序的四元组〈B，∨，∧，* 〉，其中B是一个非空的 ，∨与∧ 是定义在B上的两个二元运算，*是定义在B上的一个一元运算， 并且它们满足以下条件:A1.α∨b=b∨α，α∧b=b∧α；A2.(α∨b)∨с=α∨(b∨с)， (α∧b)∧с=α∧(b∧с); A3.(α∧b)∨b=b， (α∨b)∧b=b; A4.α∧(b∨с) = (α∧b)∨(α∧с)，α∨(b∧с)=(α∨b)∧(α∨с);A5.(α∧α)∨b=b，(α∨α)∧b=b，对于任意的α、b、с∈B均成立。或者，布尔代数定义为具有较大元和小元的有余（有补）的分配格。

设B2={0，1}是由两个元素0与1所组成的 。它的两个二元运算和一个一元运算定义如下：0∨0=0，0∨1=1∨0=1∨1=1；0∧0=0∧1=1∧0=0，1∧1=1；0=1，1=0。可以验证，B2是一个布尔代数。

设B={1，2，3，5，6，10，15，30}是30的正因子的 。规定∨是取它们的小公倍数，∧是取它们的较大公因数:*是：1=30，2=15，3=10，5=6，6=5， 10=3，15=2，30=1，容易验证B对于所定义的运算成为一布尔代数。

如果一个环R＝〈R，+，·〉具有单位元1，并且对任意的α∈R，有α2=α，那么R称为布尔环。令R是布尔环，若定义α∨b=α+b+α·b，α∧b=α·b，α=1+α，则R在所定义的运算下成为一个布尔代数。

设 R是由所有的实数组成的 。由单元集和区间的有限并所组成的 B，在 的并(∪)、交(∩)、余(C)运算之下是一个布尔代数。所谓单元集，是指仅由一个实数所组成的 。区间可以是有界的或 的，闭的或开的或半开（闭）的。

令Χ是一个固定的 。Χ的所有子集组成的 称为Χ的幂集，记为P(Χ)={S│S⊆Χ}。设B是P(Χ)的子集，并且{═，Χ}⊆B⊆P(Χ)。如果B在 论的并(∪)、交(∩)、余(C)有限次运算下是封闭的，那么这样的B在把有限次并、交、余作为∨、∧、*运算时，是一个布尔代数。这种布尔代数，常常称为集域（集场）。特殊地，取B=B2={═，Χ}，B=P(Χ)，B={S∈P(Χ)│S为有限集或有限集的余集}，……，均为集域。当Χ={α1，α2，…，αn}是有限集时，则P(Χ)={S│S⊆Χ}={{αi1，αi2，…，αik}│i1，i2，…，ik是1，2，…，n中取k个的组合，0≤k≤n}=2X=2n也是一个集域。它是由有限个元素所组成的布尔代数（有限布尔代数）。

令〈Χ，τ〉是一个拓扑空间，τ是 X上的一个拓扑，B={S⊆Χ│S 既是开集，同时又是闭集}。在 论的并、交、余运算下B是一个布尔代数，并称之为闭开代数。若取B={S⊆Χ│S的边界是无处稠密的｝，则此时B也是一个布尔代数。

令〈Χ，τ〉是一个拓扑空间，Χ的子集S是正规的闭集，当且仅当S的内部的闭包等于S，即。若B={S⊆Χ│S是正规的闭集｝，二元运算∨是指 的并运算，二元运算∧是指经 的交运算后再取其内部的闭包，即，S、T∈B。一元运算*是指经 的余运算后再取闭包，即，则B是一个布尔代数，也称为拓扑空间 〈Χ， τ〉的正规闭集代数。类似地，当取B={S⊆Χ│S是正规的开集}。所谓正规的开集S，是指。再定义运算:，S∧T=S∩T；，则此时 B也是一个布尔代数，也称为正规开集代数。

在概率论中，设B=｛S│S是随机事件｝，即所有随机事件的全体。不可能事件及必然事件均视作随机事件。这样的B在逻辑联结词"或"(可得兼的"或")、“与”、“否定”运算之下是一个布尔代数。

在数理逻辑中，基于二值逻辑的一个形式理论的所有公式，在逻辑联结词“析取”、“合取”、“否定”运算下，是一个布尔代数，也称之为林登鲍姆-塔尔斯基代数。

布尔代数到了20世纪30～40年代才又有了新的进展，大约在1935年，M.H.斯通首先指出布尔代数与环之间有明确的联系，他还得到了现在所谓的斯通表示定理：任意一个布尔代数一定同构于某个集上的一个集域；任意一个布尔代数也一定同构于某个拓扑空间的闭开代数等，这使布尔代数在理论上有了一定的发展。布尔代数在代数学（代数结构）、逻辑演算、 论、拓扑空间理论、测度论、概率论、泛函分析等数学分支中均有应用;1967年后，在数理逻辑的分支之一的公理化 论以及模型论的理论研究中也起着一定的作用。

近几十年来，布尔代数在自动化技术、电子计算机的逻辑设计等等工程技术领域中有重要的应用。

例如，在逻辑设计中，要考虑取值于B2中的元素的布尔变元 x1，x2，…，xn，以及函数值也在B2内的n个布尔变元的布尔函数ƒ(x1，x2，…，xn)。令x=1-x=x-1，x∨y= x{x， y}，x∧y=min{x， y}，于是任一布尔函数可表示成如下的形式:或，。这种形式称为ƒ的(完全的)析取范式(或完全的合取范式)。根据设计要求可先列出真值表（ƒ的列表表示），由真值表写出ƒ的析取范式（或合取范式）。化简布尔函数的表达形式在实际应用中是特别重要的，因为根据最简表达形式进行设计，不仅在功能（实际效果）上是等效的，而且更有意义的是这种设计简单、经济、可靠，因而寿命也长。化简的方法，大体上从20世纪50年代开始有所谓卡诺图的方法，奎因-麦克鲁斯基方法等等。

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