[拼音]：duozhi luoji

[外文]： ny-valued logic

一种非经典的逻辑系统。在经典逻辑中，每一个命题皆取真假二值之一为值，每一命题或者真或者假。但是，一个命题可以不是二值的。例如，波兰逻辑学家J.卢卡西维茨认为，命题不止有两个值，不只是真或假。对于“明年12月31日正午我将在华沙”这类命题，在说出它的当时，它既不真也不假，而是可能。这也就是说，命题可以有三值，推而广之，还可以有四值，五值。因此，对每一自然数n，有n值，以至于无穷多值。研究这类命题之间逻辑关系的理论，即为多值逻辑。

多值逻辑建立于20世纪20年代初，由卢卡西维茨和美国逻辑学家E.L.波斯特创建。卢卡西维茨在其1920年发表的《论三值逻辑》一文中，建立了一个三值逻辑系统。波斯特在其1921年发表的《初等命题的一般理论》一文中，建立了任意有穷多个值的逻辑系统。该系统对于任意的自然数 n>2，序列 t1，…，tn的每一项都可以取作命题的值，其中t1为真值，tn为假值。20～50年代，许多逻辑学家建立了 n值命题演算与谓词演算的公理系统，并探讨了它们的一致性和完全性问题，同时也研究了多值命题演算与埲值命题演算的子系统问题。多值逻辑在60年代获得了新的推广，从多值的线序域推广到多值的偏序域，建立了格值逻辑。70年代后，多值逻辑被用于计算机科学和人工智能等方面。

在多值逻辑中，以数字为代表的命题真值如何解释，逻辑学家中间有不同的解释方法。其中有：

（1）三值逻辑的解释。以 0，1，2表示命题的三个真值，把

0解释为已知真；

1解释为可能真；

2解释为已知假。

（2）n值逻辑的解释。以0，1，…，n-1表示命题的n个值，而把

0解释为真；

n-1解释为假；

i(0〈i〈n-1)解释为不同程度的概率1-i/(n-1)。

（3）埲（可数无穷多值）逻辑的解释。把

0解释为真；

1解释为假；

m/n，[0<(m/n)<1]解释为不同程度的概率1-(m/n)。

在卢卡西维茨的三值逻辑中，联结词塡 ，∧，∨，→，凮由以下的直值表定义，其中 t代表真，f代表假，u代表第三个值。

一般说来，若以0，1，…，n为 n+1值逻辑的值，并以0代表真，则各联结词的值可以由下列规定得到。设a、b为A、B的值，则：

（1）A的值为n-a；

（2）A∧B的值取a、b中较大者；

（3）A∨B的值取a、b中较小者；

（4）A→B的值取0，若a>b；取b-a，若a

（5）A↔B的值取a、b之差。

对于无穷值逻辑，如以单位区间 [0，1]中的有理数为值的埲值逻辑，或以单位区间 [0，1]中的实数为值的埌值逻辑，联结词的值可以由下列规定得到。设a、b为A、B的值，则：

（1）塡A的值为1-a；

（2）A∧B的值取a、b中的较大者；

（3）A∨B的值取a、b中的较小者；

（4）A→B的值为0，若b>a；取b-a，若a

（5）A凮B的值取a、b之差。

格值逻辑是把线序多值逻辑推广到任意格值上去，其中布尔值逻辑（见逻辑代数）就是一种有趣的多值逻辑。布尔值逻辑意味着布尔格中任一元素都可取为命题的值，如图1、图2所示。

图1表示命题在一个 4元布尔格中取值，图中的S为所有命题组成的 ，B1为一个4元布尔格，命题 A、B、C取值为1，D、E取值为b，G、H取值为a，I、J取值为0。命题的取值均为B1中元。

图2表示命题在一个8元布尔格中取值。命题在B2中的取值方式类似于图 1，命题间经联结词运算后所取值，为各子命题先取值再作格的运算后所得的值。在布尔逻辑中，命题联结词由格运算定义。但多值逻辑中联结词的定义，不是唯一的。如在三值逻辑中，当A、B的值皆为 u时，A→B的值为t，但也可定义为u。这两种定义构成了不同的三值逻辑系统。这种状况对其他多值逻辑系统也一样。

在经典的命题逻辑（二值逻辑）中，重言式是常真的公式，反映逻辑规律，它们是逻辑系统所要断定的。在多值逻辑中，虽然也有系统中所要断定的公式，但其可断定性问题比较复杂。例如在一个五值逻辑系统中，可断定的公式除常真的公式以外，还可以有取其他值的公式。可断定的值叫做特指值。在二值逻辑中，特指值只有一个，即真 (t)。在三值逻辑中，特指值也只有一个。但在用前面所列的真值表定义的三值逻辑中，由于二值逻辑中的某些重言式不再取特指值，因而不是三值逻辑中的可断定公式（逻辑规律），特别是排中律A∨塡A和矛盾律塡(A∧塡A)都不是三值逻辑中逻辑规律，而且在A的值为u时，A∨塡A和塡(A∧塡A)的值都是u，而不是特指值t。而另一些重言式，如A→A，A→(B→A)，由于都只取特指值t，所以是三值逻辑中可断定的公式。

多值逻辑和经典逻辑一样，也可以用公理方法系统化，建立演算系统。例如，三值逻辑的一个公理系统，其初始符号包括两个联结词塡和→，它有4个公理和一个推理规则：

公理1　A→(B→A)；

公理2　(A→B)→((B→C)→(A→C))；

公理3　(塡A→塡B)→(B→A)；

公理4　((A→塡A)→A)→A。

推理规则为：从A→B和A可以推出B。在该公理系统中，联结词∨，∧和凮通过定义引入，A∨B定义为(A→B)→ B；A∧B定义为塡(塡A∨塡B);A凮B定义为(A→B)∧(B→A)。把多值逻辑系统化，就可以研究这种系统的逻辑特征，如系统的一致性和完全性。这方面的一个结果，是证明了对于大于2的自然数n、m，当m>n且m是n的倍数时，n值逻辑是m值逻辑的真子系统。多值命题逻辑与适当的量词理论结合在一起，就构成多值谓词逻辑。对布尔值逻辑说来，已证明了，经典谓词演算的公理和推理规则在每一布尔值逻辑中都成立。

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