[拼音]：bianfen fangfa

[外文]：variational method

以变分学和变分原理为基础的一种近似计算方法，是解决力学和其他领域问题的有效数学工具。

17世纪末提出来的最速降线问题、短程线问题和等周问题是历史上著名的三大变分问题。泛函的极值是变分学的研究对象，其奠基人是L.欧拉、J.-L.拉格朗日、雅各布第一·伯努利和约翰第一·伯努利。

为了说明变分问题的特点，可以小旋转面问题为例。它可表述为：“通过两个固定点(x1，y1)和(x2，y2)，可作一系列曲线y=y(x)，其中每条曲线绕x轴旋转一周都可得到一个旋转面，其面积为S；试求出使面积S为小值的那条曲线y=y(x)。”显然，面积S取决于曲线的形式y=y(x)，即

由此可见，面积S是一个因变量，而函数y(x)是一个自变函数，因此，S是自变函数y(x)的函数：S=S[y(x)]。这种“函数的函数”在数学上叫泛函。所以，小旋转面问题是一个泛函极值问题，这类问题就是变分学研究的内容。

变分原理实际上就是以变分形式表述的物理定律，也就是说，在所有满足一定约束条件的可能物质运动状态中，真实的运动状态应使某物理量取极值或驻值。重要的变分原理举例如下：

（1）费马原理　光线通过介质时，与一切可能路径相比，真实路径使传播时间最短。

（2）哈密顿原理　在保守、完整的力学体系中，由初态过渡到终态的一切可能运动状态中，真实的运动状态使作用函数

取驻值。这里，T和U分别为体系的动能和势能（见能），t0和t1为相应于初态和终态的时刻。

（3）小势能原理　在弹性平衡问题中，与一切满足位移边界条件的可能位移相比，真实位移使弹性体的势能为极小值。

（4）小余能原理　在弹性平衡问题中，与一切满足平衡微分方程与外力边界条件的可能应力相比，真实应力使弹性体的余能为极小值。

变分问题可以化成等价的微分方程问题。例如，在固定边界的条件下，使泛函

取极值的函数满足下列微分方程：

这个微分方程通常称为欧拉方程。

欧拉方程与变分问题是等价的。它是微分方程形式与变分形式物理定律等价性的数学描述，变分原理则赋予微分方程问题与变分问题等价性以丰富的具体内容。虽然物理问题可以有两种等价的提法，但在求近似解时，从求泛函的极值或驻值出发，有时比从微分方程出发更为方便。因此，变分方法日益受到重视，并成为计算力学的重要方法之一。

变分方法大致经历了古典变分法与有限元法两个阶段，20世纪50年代以前是第一阶段。虽然30～40年代已经有有限元法的雏型，但只有当60年代高速电子计算机问世以后，才使有限元法得到迅速发展。70年代后，有限元法已从结构力学和固体力学渗透到流体力学和其他领域，这是变分方法发展的第二阶段。

（1）古典变分方法　里兹法是最常用的古典变分方法，其要点如下：首先选取一组基函数（如多项式、三角函数），它们满足变分原理中的约束条件（如小势能原理中的位移条件），然后用基函数的线性组合来逼近问题的真解，其中待定的系数就是所求的基本未知量。这样，原来求未知函数的问题就转化为求有限个未知数的问题，原来是泛函的驻值条件则转化为多元函数的驻值条件。之后应用多元函数的驻值条件建立一组代数方程，用以确定上述的待定系数，就可得到问题的近似解。当应用于多变量函数时，待定的系数是其中某一变量的函数。此外，还可直接从微分方程出发，并用积分控制误差，使之小。至于取基函数和逼近问题真解的方法与上述无异。这也属于变分方法的范畴，其中包括伽辽金方法、小二乘法、配置法、加权残数法等。对于形状简单的问题，根据对问题物理性质的了解与经验，容易测知正确的基函数系，而且往往只要一、二项就可得到较准确的结果。

（2）有限元法　古典变分方法的主要困难是选取基函数。这是由于它的基函数是在全域范围内选取的，需要满足全部约束条件，这类函数往往很难寻找，特别是对于复杂形状和约束条件的情况。

有限元法是古典变分法与分片插值法相结合的产物。它不是在全域范围内选取基函数，而是先将全域分成单元，在单元范围内用低次多项式分片插值，再将它们组合起来，形成全域内的函数，用以逼近问题的真解。这样既避免了古典方法寻找基函数的困难，而且不规则剖分比差分方法具有更大的灵活性和适应性，所以应用范围极广，能计算物理和工程中的各种复杂问题。有限元法在近20年中发展迅速，已成为理论分析与工程设计的一种有效工具，这是当代计算数学的重大成就之一。

严正声明：本文由历史百科网注册或游客用户承泽自行上传发布关于» 变分方法的内容，本站只提供存储，展示，不对用户发布信息内容的原创度和真实性等负责。请读者自行斟酌。同时如内容侵犯您的版权或其他权益，请留言并加以说明。站长审查之后若情况属实会及时为您删除。同时遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，尊重和保护作者的劳动成果，转载请标明出处链接和本声明内容：作者：承泽；本文链接：https://www.freedefine.cn/wenzhan/39393.html