[拼音]：weijifenxue

[外文]：differential and integral calculus

研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分学是建立在实数、函数和极限的基础上的。

极限和微积分概念可以追溯到古代。在我国，公元前4世纪桓团、公孙龙等所提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；公元3世纪刘徽，公元5～6世纪祖冲之、祖暅对圆周率、面积及体积的研究，都包含着极限和微积分概念的萌芽。在欧洲，公元前3世纪欧几里得在《几何原本》中对不可公约量及面积与体积的研究（包含公元前4世纪欧多克索斯所得到的成果），公元前3世纪阿基米德对面积与体积的进一步研究，也都包含着上述萌芽。

欧洲文艺复兴以后，资本开始发展，到了16世纪，由于航海、机械制造以及军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心问题。于是在数学中开始研究各种变化过程中变化着的量（变量）间的依赖关系，引进了变量，形成了数学中的转折点。在伽利略、R.笛卡儿（F.）B.卡瓦列里、P.de费马、G.P.罗贝瓦尔、E.托里拆利、J.沃利斯、I.巴罗和J.格雷果里的数学著作中，都包含着微积分中的初步想法。

在17世纪后半叶，I.牛顿和G.W.莱布尼茨完成了许多数学家都参加准备过的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。

直到19世纪，A.-L.柯西和K.（T.W.）外尔斯特拉斯才把微积分学建立在极限理论上，J.W.R.戴德金和G.（F.P.）康托尔等建立了严格的实数理论，使极限理论有了巩固的基础，于是这门学科才得到了严密化。

20世纪60年代，A.鲁宾孙奠定了无穷小概念严格的理论基础，建立了严密的无穷小理论体系作为分析学的基础，他把这种分析学称为非标准分析。

函数是微积分学中的一个基本概念，可是直到19世纪30年代P.G.L.狄利克雷才把它完全阐明。设x及Y是两实数集。如果有一个法则ƒ存在，使得x中每一个值x，在Y中有一个确定的值y相对应，就说在x上确定了一个在Y中取值的函数，或说确定了一个从x到Y的映射，记作y=ƒ(x)，或记作ƒ:x→Y，或x

ƒ(x)。x叫做自变数，自变量或原像，y叫做x的函数、因变数、因变量或像（原像及像是对映射这一名词而言）。x叫做函数的定义域或定义集，Y中所有ƒ(x)构成的集叫做函数的值域或值集。在平面上取直角坐标系Oxy，那么可以在这平面上作出函数y=ƒ(x)的图形，即坐标为x及y=ƒ(x)的所有点的 （图1

）。

在自然界中，像函数这样的数量关系是普遍存在的。例如在温度固定时，已给气体的体积决定于它的压强;不计空气阻力时，自由落体下落的距离决定于下落的时间，等等，这些都是函数概念在实际中的来源。

设自变数x在函数的定义域中变动而与 x0无限接近时（不论x0是否属于ƒ(x)的定义域，x≠x0而无限接近于x0），相应的函数值y=ƒ(x)与数A无限接近，就说当x趋近于x0时，ƒ(x)的极限为A，或ƒ(x)趋近于A，记作

设x0是y=ƒ(x)的定义域中一点，如果

就说 ƒ(x)在x0连续。如果ƒ(x)在其定义域的某一部分中的每一点连续，就说ƒ(x)在这部分连续。由上述极限的意义，所谓ƒ(x)在x0连续，就是说当x与x0相差很小时，相应的ƒ(x)与ƒ(x0)也相差很小。在自然界中，会经常遇到连续和不连续的过程，函数连续性的定义正是由此抽象出来的。

微分学的一个基本概念是导数概念，它的经典物理原型是瞬时速度。自由落体在时刻t所降落的距离是

把这距离表示为ƒ(t)，其中g是重力加速度，那么落体在时刻t的瞬时速度（简称速度），即距离对时间的变化率是

式中Δt叫做t的增量。

一般说来，考虑函数y=ƒ(x)。设x及x+Δx都是定义域中的点。如果下列极限存在：

　　　　(1)

那么就把它叫做y对x的导数，记作或ƒ┡(x)。

导数有几何意义。设y=ƒ(x)的图形如图1所示，A及A┡的坐标分别是(x，ƒ(x))及(x+Δx，ƒ(x+Δx))，则

是AA┡的斜率。若极限(1)存在，当A┡沿着曲线趋近于A时，割线AA┡趋近于一个极限位置。在这位置的直线T叫做曲线y=ƒ(x)在A点的切线，其斜率是ƒ┡(x)。

导数是函数对自变数的变化率，因此它是研究变量之间依赖关系的重要工具。如果自变是时间，函数是距离或力做的功，那么导数就分别是速度或功率。上面已经举出了速度的例子。许多实际问题可化为求解某一函数及其导数所满足的方程，即微分方程（常微分方程）。研究这种方程是微积分学的一种发展。

导数可用来研究函数的图形。由图1还可看出，如果函数y=ƒ(x)的图形在某点的纵坐标达到极大值或极小值，那么在这点，图形的切线与x轴平行，从而相应的导数是零，因此可以借助导数求出某些函数的极大值和极小值。

设函数y=ƒ(x)的定义域是实数α及b(α

如果不论xi及ξi是怎样选取的，当 x-xj中较大一数无限接近（趋近）于零时，Σ无限接近（趋近）于一有限数I，那么就说有界函数ƒ(x)在[α，b]上可积，I是它在[α，b]上的定积分，记作

可以证明，在[α，b]上连续的函数必然可积。

上述有界函数可积及它的定积分的定义是（G.F.）B.黎曼完全阐明的。因此这样的可积函数称为黎曼可积函数，相应的定积分称为黎曼积分。

上述积分可以推广到ƒ(x)的定义域是无穷区间（即[α，+∞)，(- ∞，α]或(- ∞，+∞)，其中α为实数)或ƒ(x)不是有界函数情形。相应的积分称为无穷积分或瑕积分，统称广义积分。

黎曼积分有明确的几何意义。图2

中函数y=ƒ(x)只取正值，那么Σ表示图中n个小矩形的面积之和，也就是y=ƒ(x)，x=α，x=b及y=0所围成图形的面积的一个近似值，而定积分I是它的精确值。事实上，求面积（或体积）正是积分学的一个主要来源。

通过前述定义来求黎曼积分的值，是很复杂的。对于许多重要情形应用下述定理，可以比较容易地算出定积分。

（1）如果黎曼积分

存在，并且对于[α，b]中任一点t，那么只要x0在[α，b]中，并且ƒ(x)在x0连续，就有F┡(x0)=ƒ(x0)。

（2）如果黎曼积分存在，并且有一函数F1(x)，其导数是ƒ(x)，那么

这一定理之所以称为微积分基本定理，是因为它揭示了微分与积分的内在的本质的联系，显示了它们之间的互逆性质，表明了它们实际上是同一问题的两个方面。

证明微积分基本定理的想法可以从几何图形直观看出。设y＝ƒ(x)是[α，b)]上的正连续函数，其图形见图3

。在[α，b)]中取t及t+Δt。那么

是y=ƒ(x)，x=α，x=t(或x=t+Δt)及y=0所围成图形的面积。于是F(t+Δt)-F(t)是y=ƒ(x)，x=t，x=t+Δt及y=0所围成图形的面积。当Δt充分小时，这图形的面积与图3中矩形的面积ƒ(t)Δt充分接近，由此可以想象到

于是得到证明①的想法。

为了证明②，注意到由①及F姈（x）=ƒ（x）可推出F1(x)=F(x)+C（C是常数，其导数是0）。其次，由F1(b)=F(b)+C及F1(α)=F(α)+C=C可推出F(b)=F1(b)-F1(α)。

在②中，F1(x)叫做ƒ(x)的一个原函数或不定积分。于是只须知道ƒ(x)的一个原函数或不定积分，就可求出ƒ(x)在[α，b]上的定积分的值。对于某些初等函数，其原函数或不定积分可以求出。由此容易算出这些函数在某些闭区间上的定积分。

积分可用来计算平面图形的面积、曲线弧长、曲面面积、立体体积等；也可用来计算一些物理量，如重心的坐标、转动惯量、变力作的功等；还可用来描述概率及统计中的各次矩。微分方程的求解也必须使用积分。

在前面所给出的函数定义中，如果取x为实数有序对的集或坐标平面上的点集，Y仍为实数集，就得到二元（变数）函数y=ƒ(x1，x2)的定义。还可考虑n元（变数）函数n是任一大于2的自然数。微积分学可推广到多元函数，并且引进偏导数、二重积分及多重积分等概念。20世纪以来，多元函数的微积分及流形上的微积分有较大的发展。

自从微积分开始建立以来，从一些实际问题出发，建立了种种数学分支。

（1）常微分方程。

（2）偏微分方程，即多元函数及其偏导数所满足的方程。

（3）变分学。考虑一种定积分，其积分号下是自变数、因变数及它的一些导数的函数，例如

变分学研究使这类定积分达到极大或极小值的因变数。

（4）积分方程，即未知函数出现在积分号下的方程。

（5）无穷级数。

（6）复变函数或复分析，即定义域及值域都是复数集的函数的微积分。

在19世纪末期，随着微积分严密理论的建立，产生了 论，在此基础上建立了下列数学分支：⑦实变函数或实分析。把黎曼积分推广成勒贝格积分、勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（即拉东积分），并由此建立有关理论。

（8）泛函分析。在“函数与极限”一段中所给出的函数及映射的定义中，如果取x为函数的集，这种映射称为算子；特别，当Y是实数集或复数集时，它就称为泛函。泛函分析是研究算子及有关极限性质的学科。在 论、实变函数论和泛函分析的影响下，上面提到的6个分支也得到了重要发展，这些分支都以微积分为基础，在研究中要系统采用极限方法；它们与微积分等分支都属于分析学。微积分课程也叫做数学分析。

此外，在微积分的推动下，建立了微分几何、拓扑学等数学分支。

微积分是与应用联系着发展起来的，最初，牛顿应用微积分学及微分方程从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。微积分在天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

前面已经指出，我国早在远古就已有微积分概念的萌芽。在古代，我国数学长期保持着世界先进水平。在17世纪，欧洲数学开始传入我国，到清康熙帝(1654～1722)时达到极盛。当时微积分由于刚刚创始，还没有传入我国。但在康熙帝死后，雍正帝在1723年下令，除留少数外国人在北京钦天监供职外，把其余外国人都安置在澳门，于是中外数学交流暂时中断，从而微积分学传入我国推迟到 战争以后；至于我国数学家开始在这方面作出贡献，则更推迟到20世纪20～30年代以后了。

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