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模函数

[拼音]:mohanshu

[外文]:modular function

定义在单位圆(或上半平面)内部且以其周界为自然边界的某种特殊解析函数。解析函数的许多经典理论如整函数理论中的皮卡定理、正规族理论中的一些判定定理,都可借助模函数的性质来证明。

如图1

,在z平面中取单位圆│z│<1,在其周界上按反时针向依次任取三点ABC,并作一圆弧三角形ABC,其每边均与│z│=1正交,构成一区域D0(图中斜线区)。在w平面中实轴上取定三点α(=0),β(=1),γ(=∞)。由共形映射的黎曼定理,存在一单叶解析函数w =ƒ(z),把D0映到w 的上半平面,并使ABC分别映到α,β,у。根据对称性原理,w =ƒ(z)可解析开拓到圆弧三角形Dó中,这里Dó是D0关于AB 弧的对称反演区域(C点反演成圆周│z│=1上另一点C┡),而函数值则取在w 的下半平面,此下半平面与原上半平面沿线段αβ相粘连。同理,w=ƒ(z)又可分别解析开拓到D0的关于CA弧和BC弧的对称圆弧三角形中,其函数值也在w 的下半平面中,它们分别与上半平面沿半直线 γα 和 βγ 相粘连。这样,得到了│z│<1中的一圆弧六边形区域,w =ƒ(z)在其中解析,取值于整个w 平面中如上粘连的一个上半平面和三个下半平面。再以此六边形的各边进行反演,则w=ƒ(z) 又可再次解析开拓到|z|< 1中边数更多的圆弧形区域中(仍在|z|<1内),取值又回到w 的上半平面,并与上面已取得的下半平面分别沿αβ,βу,уα之一相粘连。如此无限继续下去,则w =ƒ(z)就开拓成为整个│z│< 1内的解析函数,其所取之值在w平面上形成一无限层的黎曼曲面。w =ƒ(z)称为模函数。其反函数z=φ(w)是整个w平面除0,1,∞外的多值解析函数,或者可说成是上述黎曼曲面上的单值解析函数。

模函数w =ƒ(z)单值解析于|z|<1内,显然不取值0,1,∞,且当z从单位圆内部以任意方式趋于其周界上一点时,不可能有确定的极限值,因此|z|=1是其自然边界,即它不可能再向|z|=1之外进行解析开拓。

也可用一分式线性变换t=ω(z),|z|<1,把z变到t平面的上半平面,使ABC 分别变成实轴的α,b以及с=∞,而D0变成区域墹 0(图2

),当D0关于其一边界圆弧作对称反演时,相应地墹 0也关于其相应边作对称反演。

设t=ω(z)的反函数为z=λ(t),则

w =ƒ(z)=ƒ(λ(t))=φ(t)

就把t的上半平面映成w平面的上述黎曼曲面。φ(t)也称为模函数,其性质本质上与ƒ(z)相类似。

如果把构成模函数w=ƒ(z)过程中所作的种种关于圆弧的反演变换记为T1,T2,…,则对于任何Tj,ƒ(z)与ƒ(Tjz)互为共轭。因此,对任何两个Tj,Tk,恒有ƒ(z)=ƒ(TjTkz),即当z经过两次这类反演后,其函数值ƒ(z)不变。如果把偶数个这种反演及其逆作为元素,它们生成一变换群G,则当z经G任一元变换后,函数值ƒ(z)不变。称G为模函数w=ƒ(z)的不变群,也称ƒ(z)为关于群G 的自守函数(见椭圆函数)。

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