[拼音]：gangti dingdian zhuandong jiefa

[外文]：solutions to rotation of a rigid body about a fixed point

寻求刚体绕固定点转动动力学微分方程组的通解、特解或近似解的方法。其中有分析的、几何的、近似的方法以及根据这些方法所求得的典型结果。由于刚体绕固定点转动问题在天体角运动、陀螺仪运动以及航行器的姿态运动等问题的研究上有很大价值，所以研究其解法是极为重要的。

即外力矩为零时刚体的运动。

这种刚体的纯惯性运动具有较简单的形态：规则进动。此时刚体等速地绕回转对称轴自转，而回转轴又对空间固定的某轴(即L)轴)以不变的张角作等速转动。刚体的运动就象是同刚体固连的本体极锥从空间极锥无滑动地滚过所形成的运动（见刚体定点转动）。滚动的情况分为外接和内接两种，分别如图1和图2所示。

这种刚体绕固定点的纯惯性运动可用分析法或几何法求解。

（1）分析法　可用雅可比椭圆函数给出表示刚 置的嗞、θ、ψ 的分析解。这种刚体运动有两个第一积分：

能 量 积 分 ，

动量矩积分　，

式中Ixx、Iyy、Izz分别为刚体绕x轴、y轴、z轴的转动惯量;ωx、ωy、ωz别为刚体绕x 轴、y轴、z轴的角速度；T 为动能；L 为动量矩的大小。不失一般性，可以假定Ixx＞Iyy＞Izz。对这种刚体的任意非零运动状态恒有Ixx＞＞Izz成立。利用上述两个第一积分，消去变量ωx、ωz，若初始条件满足(对的情形可作类似讨论)，由欧拉动力学方程（见刚体动力学）可得：

，

式中

，

，

。

积分上式，得到：

式中t0是u=0（亦即ωy=0）的时刻。由此可见，u作为时间t的函数是一个典型的代数函数积分的反转。按照雅可比的定义，这个反转是如下的椭圆函数：

。

求得ωy之后，代入第一积分，即可得出用椭圆函数表示的ωx、ωy、ωz：

，

，

，

式中

，

，

。

为求得刚体每时刻的角位置，假定取空间固定的z轴为不变的动量矩L的方向，则有：

，

，

，

由此得到：

，

，

这就决定了嗞，θ 为时间的函数。求ψ可利用运动学公式

，

从而得到：

。

（2）几何法　以上的结果，从分析上来说是彻底的，但L.潘索的几何解法却能更形象地描绘出这个问题中刚体运动的直观图案。这种几何解法是以刚体绕固定点转动的几个一般性质为依据的：选定惯性椭球常数k=1，称刚体瞬时角速度ω的方向线和椭球的交点O1为极点，则椭球在极点的切平面必和动量矩矢量L垂直；固定点O到极点切平面的距离

在刚体绕固定点的纯惯性运动中，有如下两个守恒律：动量矩矢量的大小和方向不变;动能T不变。由此可以断定，惯性椭球在极点的切平面是一个不变平面。刚体绕固定点的纯惯性运动，可以形象地看成是随着惯性椭球在此不变平面上无滑动地（由于极点恒在瞬时转轴上，速度为零）滚过而产生的运动，如图3所示。滚动时极点在椭球上留下的轨迹是本体极迹，在不变平面上留下的轨迹是空间极迹。图4和图5是表示极迹的典型图像。刚体绕惯性主轴的运动最为简单，这种纯惯性运动可以使旋转不变地保持下去，称为长久转动。可以证明，长久转动的转轴一定是惯性主轴。从图4中可以看出，三个长久转动邻近的极迹并不相似，这种区别反映了长久转动稳定性不同。刚体绕椭球长轴和短轴的长久转动是稳定的，绕中间轴的长久转动是不稳定的。

这种运动表现的形态一般较为复杂。但在特殊情况下，即刚体的惯性椭球回转对称，初始条件有绕回转轴的高速自转，从而具有大的自转动量矩，刚体绕固定点的受迫运动呈现较简单的陀螺运动规律。对这种运动的研究首先是从对天文学上的岁差和章动等现象的研究开始的。岁差和章动的实质是：地球作为一个巨大刚体，在作轨道运动和自转运动的同时，还有绕地心的复杂的角运动。通过计算各个天体(日、月、行星)对地球的作用力矩，可精确地计算出地轴的受迫运动。这种运动表现为进动和章动。地球除绕地轴自转外，还以23°27┡为半张角的圆锥绕黄道轴作缓慢的进动，约26000年进动一周。这是产生岁差的原因。真地轴绕平地轴还有一种较快的周期运动。这种运动的周期大约为18.6年，根据《周髀算经》所说的”十九岁为一章”，天文学上称这种运动为章动。章动可分为倾角章动和黄经章动。图6概略地表示出地球的角运动。

上述研究结果在有重要实用意义的陀螺仪理论中得到广泛的运用。高速自转的陀螺仪在受到垂直于自转轴分量的外力矩作用时，受迫运动就是瞬时响应的倒向外力矩方向的缓慢运动，这种运动称为陀螺仪的进动。陀螺仪自转轴的实际运动大都是在进动运动邻近作极小幅度的快速抖动，这种抖动称为陀螺仪的章动。如果引入一个假定：整个陀螺仪系统的动量矩可用陀螺仪转子的自转动量矩代替，则从动量矩定理出发就能导出陀螺仪的进动理论，由此算出的陀螺仪运动就只是进动。由于陀螺仪在飞行器和船舰的导航和稳定方面有重大使用价值，这方面的应用理论仍在深入研究之中。

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