[拼音]：xianxingxing

[外文]：linear form

又称线性函数或线性齐式，是域F上的线性空间V到域F上的一个线性映射。如果ƒ是从V到F的映射，对V的向量尣、y，F的元素α、b满足ƒ(α尣+by=αƒ(尣)+bƒ(y)，那么ƒ就称为V上的线性型或线性映射。若e1，e2，…，en是V 的一组基，则V 的每一个向量尣 都可表成，式中xi在F中，i=1，2，…，n。因此对于V上的线性型ƒ 有或记成 ，式中记ƒ(ej)=αj，i=1，2，…，n。若x 视为V 中的变元，则x1，x2，…，xn就可看作取值于F 的变元。因此，在基{e1，e2，…，en}之下，线性型ƒ就是F上n个变元的线性齐次函数。当V的基取定时，ƒ就由Fn的一个n元向量(α1，α2，…，αn)惟一确定。 V上的线性型全体按通常的函数加法与纯量乘法构成F上的一个线性空间，且与Fn同构。

如果V1、V2都是F上的线性空间， 是V1与V2的笛卡儿积，从V1×V2到F的映射φ，对于V1的向量尣，尣1，尣2；V2 的向量y，y1，y2；F的元素α1，α2，b1，b2，满足

那么φ称为V1与V2上（或V1×V2上）的双线性型，或双线性函数或双线性齐式或双线性映射。若e1，e2，…，em与ƒ1，ƒ2，…，ƒn分别为V1与V2的基，，则式中在F中，由此可知，φ由矩阵A惟一确定，且可视为F上的两组变元x1，x2，…，xm与y1，y2，…，yn的双线性齐次函数。在V1与V2的基都选定时，V1×V2上的双线性型全体按通常的函数加法与纯量乘法组成一个F上的mn维线性空间，且与Fm×n同构。当V1与V2的基都改变时，V1×V2上的双线性型φ对应的矩阵，就变成由相应的演化矩阵惟一确定的等价矩阵。例如，这里p和Q分别为F上的m阶和n阶方阵，由坐标变换公式:

可得

因此，B=pAQT，式中。j=1，2，…，m;k=1，2，…，n。对于V1与V2的任意基，φ所对应的矩阵有相同的秩，这个公共的秩称为 φ的秩，记为rankφ。当rankφ=r时，φ的标准形式（即在V1与V2的某基下φ的最简单形式）为

，　 　(1)

此即表明，对两组旧变元x1，x2，…，xm与y1，y2，…，yn，总可经满秩的线性变换，使φ对两组新变元x媹，x崉，…，x怬与y媹，y崉，…，y怽取(1)的形式。

在V1=V2=V时，若双线性型φ对于V的任意向量尣、y有φ(尣，y)=φ(y，尣)，则φ称为对称双线性型;若有φ(尣，y)=-φ(y，尣)，则φ称为反对称双线性型。当V的基取定时，对称双线性型所对应的矩阵 A必为对称矩阵；反对称双线性型所对应的矩阵必为反对称矩阵。当V的基改变时，对称双线性型对应的矩阵A变为它的合同矩阵B=pApT，因此，可用对称矩阵的性质全面地描述对称双线性型的标准型等性质。例如，F=实数域 R，于是，每个实对称双线性型在正交变换（即 p为正交矩阵）下都可化为实正交标准型

，

式中λ1，λ2，…，λr是φ在任意基下对应的矩阵A的全体非零特征值。在复数域 C上，若只要求线性变换为满秩的，则它的标准型如 (1)所示。反对称双线性型可用反对称矩阵的性质描述和研究。

域F上的k个线性空间 V1，V2，…，Vk的笛卡儿积，按通常的向量加法和纯量乘法成为 F上的一个线性空间，若，若对j=1，2，…，k满足

式中尣l∈Vl，l=1，2，…，k;尣徾∈Vj，α、b∈F， 则φ称为V1×V2×…×Vk上的k重线性型或k重线性映射。当k≥3时统称为多重线性型。

域F上的线性空间V的全体线性型，按通常的函数加法与纯量乘法，是F上的一个线性空间，记为V*。V*称为V的对偶空间，又称为V的关联空间或共轭空间。可以证明，当diтV是有限时，则diтV=diтV*。因此，V≌V*。这一结果在diт V是无限时不再成立。如果V的基{ej}与V*的基 式中δjk为克罗内克符号，那么这两组基底称为对偶基。用对偶基来描述线性型是很简单的。

若在域F上的k个线性空间V1，V2，…，Vk中，一些线性空间是另一些线性空间的对偶空间，则可引入混合张量的概念（见多重线性代数）。线性型已成为线性代数的一个重要内容。

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