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Ap权

[拼音]:Ap quan

[外文]:Ap weight

保证某些算子在加权勒贝格空间Lp有界的权函数。设T是Lp(Rn)到Lp(Rn)的有界算子,即对任意ƒ ∈Lp(Rn),有

式中C与ƒ无关, 积分中的dx为勒贝格测度。设ω(x)≥0是定义在Rn上的局部可积函数。问题是ω(x)满足什么样的条件,可保证算子T是Lp(Rn,ω(x)dx)到Lp(Rn,ω(x)dx)的有界算子,即对任意ƒ ∈Lp(Rn,ω(x)dx),有

式中C与ƒ 无关。1972年B.穆肯霍普特提出了下面的Ap条件。所谓ω(x)满足Ap条件(1<p<∞)是指存在常数C,使不等式

(1)对Rn中所有的方块Q成立。这条件的意思是ωQ的平均值与在Q 的平均值的p-1次幂的乘积是有界的。对p=1,所谓ω(x)满足A1条件,是指不等式

Rn中的所有方块Q成立,式中CQ无关。这意思是ω(x)在Q的平均值可以被ω(x)在Q的本性下界控制。这是等式(1)的极限情形。

之后,所谓ω(x)满足A∞条件,是指存在常数C与δ>0,使得对Rn中的任意方块Q以及Q中的任意勒贝格可测集E,有

,式中|E|表示 E的勒贝格测度。这条件的意思是指用ω(x)dx定义的测度,与勒贝格测度在某种意义下是可比较的。如果ω(x)满足Ap条件,就说ω(x)是一个Ap权。全体Ap权构成的函数 也用Ap表示。1972年,穆肯霍普特首先证明了,若 T是哈代-李特尔伍德极大函数M,即

,则M(ƒ)是Lp(Rn,ω(x)dx)到Lp(Rn,ω(x)dx)的有界算子的充分必要条件是ωAp权(1<p<∞)。后来,R.A.亨特、穆肯霍普特、R.L.惠登、R.R.科伊夫曼与C.费弗曼等人证明了,一般的考尔德伦-赞格蒙奇异积分算子是Lp(Rn,ω(x)dx)到Lp(Rn,ω(x)dx),有界算子的充分必要条件也是ωAp权(1<p<∞)。

上述结果对p=1与p=∞并不成立,但A1、A∞在有关理论中也是两类十分重要的权函数。它们与Ap有密切的关系。粗略地说就是,A1是全体Ap的公共部分,而A∞是包含全体Ap的小 。用符号写出来就是

 P.琼斯于 1980年证明了Ap权的分解定理。这就是,设1<p<∞, 则ωAp的充分必要条件是,其中ω1,ω2∈A1。这就有可能把对Ap问题的讨论归结为A1。

Ap权与哈代-李特尔伍德极大函数,BMO空间等有密切联系。例如,设ƒ 是任意的局部可积函数,M(ƒ)是它的哈代-李特尔伍德极大函数,0<δ<1,则(M(ƒ))δ∈A1。又如,设b是Rn的局部可积函数,则b∈BMO的充分必要条件是存在ε>0,使得eεb∈A2。

Ap权具有一个很重要的性质,即它满足反向赫尔德不等式:若ωAp,1≤p<∞,则存在δ>0与常数C,使得

Rn中的所有方块Q成立。这一性质在近代偏微分方程理论中有重要的应用。

Ap权是近代调和分析的一个重要工具。

参考书目B. Muckenhoupt, Weighted Norm Inequalities for the Hardy Maxi l function,(Trans.Amer. th.Soc.Vol.165,pp.207~226,1972.R.R.Coif n and C.fefer n, Weighted Norm Inequalities ƒor Maxi l functions and Singular Integrals,Studia Math.,Vol.51,pp.241~250,1974.

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