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量子力学的变分法

[拼音]:liangzi lixue de bianfenfa

[外文]:variational method in quantum mechanics

解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法。对于束缚定态,它是基于能量本征值方程(即不含时间的薛定谔方程)与能量变分原理的等价性,通过求能量的极值得到能量本征值方程的解。在处理具体问题时,总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分,这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解。这种方法称为变分法。

若体系的哈密顿量算符为彑,其能量本征值方程为

, (1)

该体系的能量平均值

(2)

是波函数φ的泛函。式中表示对体系全部坐标积分。可以证明,求彑的本征值方程,等价于求解

(3)

也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数,唕的极值为所对应的本征值,即

(4)

这样,如果能猜测到一个φ正好满足式(1),则由式(2)所得的唕[φ]等于E,如果猜测的φ与ψ 略有不同,则唕[φ]必定大于E,因而唕[φ]总是给出唕的一个上限。当做了多次猜测之后,其中小的唕一定是这些猜测中较好的,这样就把小的唕取作E的近似值。应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法。改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q,α1,α2,α3,…)来实现的,这样唕也就是这些参数的函数。式中q 代表体系的全部坐标,所猜测的波函数φ(q, α1,α2,α3,…)称为尝试波函数,变分参数(α1,α2,α3,…)是待定的。根据变分原理,由唕取极值,则有

(5)

通过以上方程组可解得(i=1,2,3,…),于是φ(q,α嬼, α嬽, α嬿,…)和 E(α嬼, α嬽, α嬿,…)分别是ψ和E在φ(q,α1,α2,α3,…)形式下较好的近似。它的近似性来源于用参数的变化代替了普遍形式的任意变分、显然,参数愈多,尝试波函数的变化愈普遍,所得结果愈好。在选取尝试波函数时,要注意使其与ψ满足相同的边界条件。

如果尝试波函数φ与精确解的差为Δ量级,则唕与精确解的差为|Δ|2量级,因而即使用粗糙的尝试波函数也可得到近似性很好的能量本征值。通常用这种方法求体系基态能量的近似值。考虑到不同能量的本征函数彼此正交,也可以由低至高逐级求激发态能量的近似值,其近似性较基态为差。变分法的优点在于运用它求解不受什么限制,但是由于结果的好坏完全取决于尝试波函数的选择,致使结果的任意性大。以上是解束缚定态的变分法。

对于散射问题,如将决定能量的变分原理改为决定相移的变分原理,以上方法的基本思想仍适用。变分法也常与量子力学的微扰论结合起来使用。

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