[拼音]：jida hanshu

[外文]：maximum function

又称哈代-李特尔伍德极大函数，由已知函数经一定运算（取平均）后取极大值所定义的函数，是由英国数学家G.H.哈代、J.E.李特尔伍德于20世纪30年代研究傅里叶级数时引进的。极大函数算子M是指将函数ƒ 映为它的极大函数Mƒ的算子。设ƒ(x)是Rn中的局部可积函数，那么称下面的(Mƒ)(x)为ƒ的极大函数：

，

式中B(x，r)是以x为心、r为半径的球，|B(x，r)|是球的体积，表示对r取上确界。可证明，极大函数(Mƒ)(x)是几乎处处取有限值的，只要；而且，式中A是常数，仅与p，n有关。

从极大函数的定义可知，(Mƒ)(x)≥｜ƒ(x)｜几乎处处成立。另一方面，只要，那么仍有

这说明， 极大函数(Mƒ)(x)虽比｜ƒ｜本身要大，但又“不太大”。正是这个重要性质，使得极大函数(Mƒ)(x)能有效地控制那些在lp上有界的算子，之后可以通过函数本身的大小达到估计算子的目的。

极大函数的研究对分析数学的发展起了很大作用，近年来又有许多推广，并应用到数学的其他分支中去。

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