[拼音]：yiban tuopuxue

[外文]：general topology

又称点集拓扑学，拓扑学的一个分支，主要研究拓扑空间的自身结构及其间的连续映射的学科。在19世纪70年代，德国数学家G.（F.P.）康托尔建立了 论并借以描述了欧氏空间中子集的极限点、开集与闭集等概念，一般拓扑学研究已见端倪。到了20世纪初叶，有人用 论观点来研究曲线族、函数族等。其中，法国数学家M.-R.弗雷歇在1906年的一篇论文中，用 论的语言与方法颇为直观地得到函数之间诸如收敛之类的关系，开创了抽象空间研究的先河。继后，德国数学家F.豪斯多夫1914年在其专著中借助邻域系引进了现在称之为豪斯多夫空间的一种重要的拓扑空间。20世纪20年代，波兰学派崛起，1920年，重要期刊《基础数学》创刊。1922年波兰数学家K.库拉托夫斯基借助闭包算子给出了拓扑空间的一般定义。一系列深刻的结果与巧妙的方法纷纷出现。这个20年代可谓一般拓扑学的黄金时代。

拓扑学关心的是几何对象的相对形势关系，早期拓扑学就叫形势分析学。现在把 看成一种广义的几何对象，从拓扑学角度要考察的形势关系中，最自然的莫过两点之间的邻近关系。直线上两点邻近就是指他们之间距离很短，邻近概念是一个明白易懂的概念，然而它也是很基本很深刻的。数学分析的中心论题是极限问题，它就是考察一串点是否与定点逐渐地邻近的问题。数学分析中收敛与连续这类重要概念是某种极限问题，涉及到邻近性态的研究，应该指出，收敛与连续也是一般拓扑学中最基本的课题。邻近概念又如何来描述呢？已经说过，直线上两点之间的邻近关系是用其间的距离来描写的。这里涉及到点对之间的距离，或者更确切地说度量（见度量空间）的问题。然而，邻近关系与度量并无必然的关系，在直线上给了一点p，以p为中点的一串开区间形成了点p的邻域系。借助邻域系，在数学分析中已成功地描写了“极限趋向 p点”这种邻近状态。这种办法可以在一般的 上来进行。在非空 x上给定了一个邻域系构造是指对x中每点p，指定了若干含有点p的子集，它们满足适当的条件，叫做p的邻域系。在x上指定了邻域系的构造就说赋予x上一个拓扑，有了拓扑的 x 就叫做拓扑空间。

使用上述邻域系构造可以描述邻近关系。如果点p的每个邻域都与子集A有交点，就说p邻近于A。如果点p的每个邻域与A都有异于p的交点，就可说p是A的极限点。将与A邻近的所有点添加到A上，得出一个新的子集，称作A的闭包。将闭包等于自身的集称作闭集。闭集A的补集x-A称作x的开集。也可以用闭集族或开集族来等价地刻画拓扑。

有了邻近关系，可以把数学分析中连续函数的概念一般化为拓扑空间的连续映射概念（见拓扑空间），双向的一一且连续的映射称作拓扑映射。在拓扑映射下保持的空间性质叫做拓扑性质。彼此之间存在拓扑映射的两个空间叫做同胚的。

拓扑性质的探讨是拓扑学研究的主题。一个空间x中如有可数子集C，使得x中每一点的每一邻域都与 C相交，则称 x为可分的。可分性是一种拓扑性质。图形连成一片的直观形象在数学上精确地处理的一种办法就是借助连通性这个拓扑性质。有界实数序列必有收敛的子序列这条性质本质上也是拓扑性质，叫做紧性。直线上有界闭子集都是紧的。连通性与紧性都是重要的拓扑性质。

发现特定的拓扑空间的拓扑性质是重要的。另一方面，还很重要的是所谓识别问题，它要求找出一组拓扑性质来刻画一类空间。也就是说，凡具有这一组拓扑性质的空间都是彼此同胚的。人们已成功地用可分性、连通性与紧性等拓扑性质刻画了直线段、球面等拓扑空间。对于三维球面的拓扑刻画问题就是十分著名的庞加莱猜想。围绕这个猜想而十分活跃的低维流形的拓扑研究中，一般拓扑学也占有一席地位。欧氏空间子集的拓扑研究本来就是一般拓扑学的一个传统课题，当然，这些研究已远远超出一般拓扑学范围，常常要借助代数拓扑等方法来综合地处理。

代数拓扑侧重于代数方法来研究拓扑性质，而一般拓扑无论从其自身渊源与使用方法上都具有浓厚的分析学的色彩，这一点从上面用邻域系构造来引进拓扑这一过程中就可以看出。但是这并非说在一般拓扑学中不用代数方法。事实上，一般拓扑学中有一个方向叫做连续函数环理论。它就是通过一个拓扑空间上连续函数全体形成的环以及有界连续函数全体形成的子环的代数性质的研究来得到该空间的拓扑性质的。

一般拓扑学的理论是从数学若干分支的基本概念的深化过程中升华得到的，自然是较抽象的。这种抽象性的另一面正决定了应用的广泛性， 上拓扑结构在近代数学中可称得上俯拾即得、普遍存在的结构，例如巴拿赫空间上范数小于或等于 1的线性泛函全体在弱星拓扑下就形成一个紧集，这一重要结论在其证明中还自然地借助于一般拓扑学中乘积空间吉洪诺夫定理。一些粗看起来不是拓扑不变的性质也可借助一般拓扑学的结果作出深一层次的分析，度量概念不是拓扑映射下不变的。但应用一般拓扑学的结果，在20世纪40年代末已得出拓扑空间可度量化的拓扑刻画，从而可以推知局部可度量空间在整体上可度量化的充要条件是仿紧的。这是一个颇为有用的结论（见拓扑空间、度量空间）。仿紧概念是1944年由法国数学家J.迪厄多内提出的，尽管局部有限族的概念早在1924年就由苏联的∏.С.亚历山德罗夫提出，但只是在仿紧概念出现后，才可能把局部范围的一些结构协合成一个整体结构，因而不只在一般拓扑学自身而且在注重整体分析的许多近代数学分支中，仿紧性都是重要的概念。在基础数学的研究中，一般拓扑学也可发挥作用，著名的哥德尔完备性定理本身反映的就是一种拓扑空间中紧性问题。

一般拓扑学经过70～80年的发展，已较成熟。但其自身结构中若干问题仍然引人注意，例如维数论仍在不断地取得进展（见维数）。当然，作为较为成熟分支的特点，其最活跃的领域总是在它与其他分支交互作用的边缘地带。

在20世纪60年代， 论有一个重大突破，这就是P.J.科恩关于连续统假设独立性的证明以及在这个证明中所用的力迫方法（见连续统假设）。于是20年代一般拓扑学黄金时代中提出的一些与 论颇有关联的问题又引起了一般拓扑学家的兴趣，使用力迫法及其种种变种进行新的探讨，一个称作集论拓扑学的领域也就形成了，这是一般拓扑学中比较活跃的领域之一。

在20世纪60年代L.A.扎德提出了模糊集论（见模糊性数学）。从纯数学角度看，模糊集的提出丰富了经典集论的内容，从而也 了与 论关系密切的一般拓扑学的研究。经过中外学者的努力，现已形成了称之为不分明拓扑学（即模糊拓扑学）这个生机勃勃的研究领域。不分明拓扑空间以通常拓扑空间为特款；但在这更一般的框架上，传统的邻域系这个邻近构造呈现出严重的局限。我国学者提出了称作重域系的新的邻近构造，克服了这一基本困难。重域概念的提出，收敛理论的完成以及诸如不分明嵌入定理的建立在不分明拓扑学中都是重要的。这个领域正结合着若干代数性质的研究，围绕格（见格）上拓扑学这个主题深入展开。不分明拓扑的成果已应用于模糊数学的其他理论研究与实际应用中。

在一般拓扑学的活跃领域中还有与同伦论的基本概念关系密切的型论研究以及综取收缩核理论与 n维流形理论(见流形)的成果而展开的无限维流形理论研究。这两个方向的研究前途远大。

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