[拼音]：BMO kongjian

[外文]：BMO space

有界平均振动空间的简称。这是 1961年由 ƒ.约翰和L.尼伦伯格在研究椭圆型偏微分方程的解时所引进的一类函数空间。 它包含着空间L∞（Rn），又是哈代空间H1（Rn）的对偶空间 （见<Hp 空间）。设ƒ（x）为定义于Rn上的局部可积函数，Q为Rn中边平行坐标轴的任一立方体，│Q│为其体积，ƒ（x）同ƒ(x)在Q上的平均值的偏差用│ƒ(x)-ƒQ│表示， 它在Q上的平均值，叫做ƒ(x)在Q上的平均振幅。如果ƒ(x)满足条件

就称ƒ(x)具有有界的平均振幅，并记作ƒ∈BMO。由上述定义看出，任一Rn上的有界可测函数必具有有界的平均振幅，但反之不一定成立。例如，log｜x｜属于BMO空间，但它不属于L∞，这说明 BMO空间和L∞有严格的包含关系。

对任一ƒ∈BMO，如定义

，可以证明为一准范数。事实上，当且仅当ƒ(x)为一常数。因此，当BMO空间中的两个函数ƒ1和ƒ2相差一常数时，规定这两个函数是等同的，在这个规定之下，便成为范数，而且BMO空间为一巴拿赫空间。

由 BMO空间的定义容易验证：如果存在两正常数A和α，使得对于一切的立方体Q均满足

式中左边为勒贝格测度，那么ƒ∈BMO。约翰和尼伦伯格指出上述不等式本质上可以用来刻画BMO空间的特征。这就是存在着两正常数A和α，使得对于任一ƒ∈BMO，立方体，以及α>0，成立不等式

另一个涉及BMO空间构造特征是由 C.L.费弗曼和 E.M.施坦给出的：ƒ∈BMO当且仅当ƒ=u+堝，此处u，υ∈L∞，堝为υ的希尔伯特变换。这个事实表明，判断一个函数是否属于BMO空间，可以纯粹用调和分析的语言来表述与刻画。因此，这个事实也就成为揭示BMO空间和调和分析之间内在关系的纽带，并且这方面的进一步研究成为当代调和分析的重要研究课题之一。

关于BMO空间的研究，特别要提出费弗曼和施坦的下述结果:哈代空间H1(Rn)的对偶空间为BMO空间，记作。可以说，由于这个事实的发现，BMO空间便成为调和分析的重要角色。

由于BMO空间是H1的对偶空间，因此许多涉及H1的问题通过这个对偶关系可以用 BMO空间的性质去处理，于是BMO空间就成为研究 H1许多问题的一个新工具。例如，研究算子T从H1到L1的有界性，要建立不等式

(*)由以及关系式

可知：

于是，为使关系式(*)成立，只须证明

这就把研究算子从H1到L1的有界性问题转化为研究其共轭算子慘从L∞到BMO空间的有界性问题了。另一个应用是，BMO空间在许多调和分析问题的研究中，可以成为空间L∞的合适代替。例如，傅里叶分析中的许多古典的算子T具有从Lp到Lp的有界性(1<p<∞)，也就是说不等式

成立。但当p=∞时，结论却不成立。其原因是由于当ƒ∈L∞时，经过算子T作用后的像Tƒ不一定在L∞内。包含关系使人们想到，映像Tƒ虽不在L∞内，但有可能在BMO空间内，如果这是正确的话，说明算子T有可能具有从L∞到BMO空间的有界性。例如希尔伯特变换H虽不满足

但成立着

因此，当算子T并不具有从L∞到L∞的有界性时，可以考虑T是否具有从L∞到BMO空间的有界性。在这种意义下，BMO空间起到了代替L∞的作用。

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