[拼音]：midu juzhen

[外文]：density matrix

又称统计算符，描述统计系综中力学体系的量子运动状态的分布的矩阵。

用求迹符号tr表示取后面矩阵所有对角元之和，则任意力学量 的统计平均值可用该力学量的矩阵与统计系综的密度矩阵表达为

如密度矩阵按几率归一化，则有tr()＝1，＝tr()。

若q为力学体系所有自由度的坐标的简写，k为该体系量子运动状态的完全描述的简写。引入正交归一化并且完备的基本函数系｛ψk(q)｝，并将系综中每个量子力学体系的薛定谔波函数对基本函数系展开，如

此处上标(s)区别系综中各力学体系，总共有N个。展开系数с为时间t的函数，满足与(s)无关的同样的按几率归一化的条件（*表示取复数共轭）。

从展开系数依下式定义的所有矩阵元 ρkι即构成按几率归一化的密度矩阵

有，而 ρkk为系综中力学体系处在运动状态 k上的几率。任意力学量┮对力学体系(s)的量子平均值为

其中矩阵元构成该力学量的矩阵。所以该力学量对系综的统计平均值为

右侧代表矩阵乘积。如不按几率归一化，密度矩阵比上面定义者可差常数因子。

将薛定谔波函数的展开式代入薛定谔方程

可得

（s＝1，2，…，N，k=所有值），

此处为哈密顿量彑的矩阵元;因为哈密顿量为厄密算符，有。利用展开系数随时间变化的上述方程及其复数共轭，可以推出或此处右侧用了量子力学中泊松括号的定义。这方程与经典力学体系的统计系综的分布函数

所满足的刘维方程相似：

此处右侧用了经典力学中泊松括号的定义。

当量子力学体系为n电子体系，如采用哈特里－福克近似而引入单电子波函数时，常如下定义单电子密度矩阵，亦简称为密度矩阵：

此处q为单电子坐标，即三维空间坐标和一个离散的自旋坐标；i为单电子运动状态，包括自旋；式中对i求和为对占据态求和，一共有 n个占据态，每态容纳一个电子。由于ψi(q) 皆正交归一化，注意时对三维空间坐标积分并对自旋坐标求和，上述单电子密度矩阵是归一为总电子数

这样，在q 处出现任一个电子的几率即为(q，q)，而在q和q'处出现任一对电子的几率为行列式

上述结果可以由哈特里－福克近似的 n电子体系的行列式波函数

导出。上式左侧k及q为右侧所有i及qj的 。

参考书目

P.A.M.狄拉克著，陈咸享译:《量子力学原理》，科学出版社，北京，1979。(P.A.M.Dirac，The Principles of Quantum Mechanics，4th ed.，Clarendo Press，Oxford，1958.)

P. A. M.Dirac，Proc.Camb.Phil.Soc.，Vol.25， p.62，1929; Vol.26， p.376， 1930; Vol.27， p.240， 1931.

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