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代数函数域

[拼音]:daishu hanshuyu

[外文]:field of algebraic function

一个域上的n(n≥1)元有理函数域的有限扩张。设K是一个在任意域F上经添加有限个元素x1,…,xn,xn+1,…,xs所生成的域,其中x1,…,xn(n≥1)在F上是代数独立的;xn+1,…,xs关于F(x1,…,xn)是代数元,则称K是以F为系数域的n元代数函数域。当n=1时,简称K为F上的代数函数域,记作K/F。K中所有关于F的代数元成一个子域F┡,称之为K/F的常量域。为了方便起见,以下设F本身就是K/F的常量域。

公式其中αp是整数,而且只有有限多个不为零;p取遍K/F 的所有素除子。这种α称为K/F的除子。如果每个αp都不是负整数,那么α就称为整除子。对于两个除子和规定:α=b,当且仅当对每个p都有αp=bp;规定乘法运算为 ;除子记为α-1。若α-1b是一整除子,则称 α除尽b,记作α|b。

公式的次数为于是有d(α-1)=-d(α)以及d(αb)=d(α)+d(b)。

对于K中不为零的α,规范化的指数赋值vp(α)=mp是整数,且只有有限多个 p有 mp≠0,从而可作出除子设α是任一除子。子集L(α)={α∈K|α=0,或者α|(α)}形成F上的一个有限维空间,它的维数,记为l(α)。当α遍取K/F中所有的除子时,整数集{l(α)+d(α)}是有下界的。令由此确定的非负整数g是代数函数域的一个重要不变量,称为K/F的亏格。虽然是B.黎曼首先明确提出并命名它为亏格的,但是早在N.H.阿贝尔的著作中就已经出现过。

公式并以dt记向量其中每个分量是对不同的素除子p来取的,因此dt是个无限向量。对于K 中每个u,规定并称之为K的微分。当u≠0时,总有于是是整数,且只有有限多个不为零,由此定出一个除子若对某个除子b有b│(udt),则称udt被b除尽。K中所有被b除尽的微分(包括0),组成F上一个有限维空间,它与t、π的选择无关,它的维数记作δ(b)。

黎曼-罗赫定理 对于代数函数域K/F的任何一个除子α,恒有等式l(α)=d(α-1)-g+1+δ(α-1)成立。

公式

亏格为1的代数函数域称为椭圆域。特别在F为复数域C时,以复数α、b(α/b不是实数)为周期的椭圆函数组成一个域K,作为C上的代数函数域而论,它的亏格等于1。

在历史上曾企图把形如的积分用有限的形式表出,于是引起对代数函数域的研究,这里φ(x,y)是含x、y的有理式;y与x满足一个整关系式ƒ(x,y)=0。代数函数的理论,历来就有几种不同的描述方法,其中之一属于“算术-代数”这一方向,即所谓代数函数域。它始于19世纪80年代R.戴德金和H.韦伯的工作。自20世纪以来,随着抽象代数学的发展,戴德金和韦伯的理论,先后经E.诺特、 H.哈塞、F.K.施密特和 A.韦伊以及其他学者的逐步简化和推广,对域F的限制得以逐步解除,使这一理论的许多内容包括黎曼-罗赫定理,可以在F为任意域的情况下来建立。

参考书目

C.Chevalley,Introduction to the Theory of Algebraic functions of one variable, Amer. Math.Soc.,New York,1951.

E.Artin,Algebraic Numbers and Algebraic Functions,Grodon and Breach,New York,1967.

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