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柯西积分定理

[拼音]:Kexi jifen dingli

[外文]:Cauchy integral theorem

A.-L. 柯西研究复变函数的积分所得到的基本定理。应用这一定理可导出解析函数的一系列重要性质。例如,可证明如果一复变函数在一区域内是解析的(即有导数),则其导数必连续且任意阶导数必存在;还可计算一些定积分或反常积分,等等。

复积分定义

设函数ƒ(z)=u+iv在可求长曲线Г上是连续的,其中u和v分别是ƒ(z)的实部和虚部。在Г上依次取分点。Г上从zk-1到 zk的小段记为Гk,在Гk上任取一点,作和数

如果当(sk是Гk的弧长)趋于零时,s趋于一极限值,则称这个极限值为ƒ(z)沿曲线Г的积分,记为

因为

所以当λ→0时,上式右边的两个和数分别趋于

于是有

柯西积分定理

设ƒ(z)在有限单连通区域(即“无洞”且不含无穷远点的区域)D内解析,Г是D内任一条可求长、简单(即本身不相交)、闭(即两端点重合)曲线,则

柯西定理有一逆定理,即莫雷拉定理,这一定理与柯西积分定理相结合,可叙述为:设ƒ(z)在有限单连通区域D内连续,则ƒ(z)在D内解析的充分必要条件是:对D内任一条可求长简单闭曲线(或任一三角形)Г,

柯西积分公式

由柯西积分定理可导出柯西积分公式,这一公式把解析函数用曲线积分表示出来。特别,它用解析函数在一闭曲线上的值,表示出它在曲线内侧的值。柯西积分公式可表述如下:设ƒ(z)在有限单连通区域D内解析,Г是D内任一条可求长简单闭曲线,则对Г所围区域内任一点z,

式中积分是在Г上沿反时针方向取的。

柯西积分公式启发人们研究柯西型积分。 设函数φ(ξ)在某一可求长简单闭曲线Г上可积(ξ∈Г),则由柯西型积分

确定的函数, 当z媂Г时是解析的。对于Г上几乎所有的点z0,当z从Г的内侧及外侧沿不与Г相切的曲线分别趋近于z0时,有极限

式中

当Г不是闭曲线时,也有类似结果。柯西型积分可应用于研究解析函数的边界性质、边值问题及奇异积分方程。

引进同伦及同调概念,可以把柯西积分定理叙述成一般形式。设Г0:z=Г0(s)及Г1:z=Г1(s)(0≤s≤1)是区域D内两条可求长闭曲线,设存在着在D内取值的连续函数z=G(s,t)(0≤s≤1,0≤t≤1),使得

G(s,0)= Г0(s),G(s,1)=Г1(s) (0≤s≤1);

G(0,t)=G(1,t) (0≤t≤1),

则称Г0与Г1在D内同伦。

对于z媂Г0,定义z关于Г0的指标为。

如果D的余集中任何点关于Г0及Г1的指标相同,则称Г0及Г1在D内同调。可以证明,如果Г0及Г1在D内同伦,则它们也在D内同调。柯西积分定理的一般形式是:设ƒ(z)在区域D内解析,Г0和Г1是D内两条同伦或同调的可求长闭曲线,则。

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