[拼音]：youxianqun
[外文]：finite group
具有有限多个元素的群。群论的重要内容之一。其所含元素的个数，称为有限群的阶。有限群可分为两大类：可解群与非可解群（特别包括非交换单群）（见群、有限单群）。
可解群如果有限群G 之合成群列的每个商群Gi-1/Gi（称为G 的合成商因子）是交换群，那么有限群G 称为可解群。易知，若G的合成商因子Gi-1/Gi是交换群，则必为素数阶的循环群。所谓G的合成群列，是指在G 中由有限多个子群组成的降链如，使得Gi是Gi-1的极大正规子群，即，且凡满足Gi
在群G中由有限多个正规子群组成的降链使Gi为真包含于Gi-1内的G 之极大正规子群(即Gi-1/Gi是G/Gi的极小正规子群)，称为G的主群列。G的任意两个主群列是等价的。其等价定义与合成群列的等价定义相同。
有限群有合成群列或主群列存在，且任意两个合成群列或主群列是等价的。这就是若尔当-赫尔德-施赖埃尔定理。凡是阶等于pαъ的群恒为可解群，其中p、是互异的素数，α、b是非负整数。这就是著名的伯恩赛德定理。而W.费特、J.汤普森在20世纪60年代初期又证明了有限群中长期悬而未决的一个猜想，奇数阶的群一定是可解群，因而有限非交换单群的阶必为偶数。
西洛性质有限群理论中一个经典而重要的结果是著名的拉格朗日定理:有限群G的阶│G│等于G的子群H的阶│H│与 H在G内的指数│G:H│的乘积，即│G│=│H│·│G:H│。但是，并非对│G│的任何因数d，G一定有阶为d的子群。例如，四次交错群A4的阶为12，而A4没有6阶子群（见置换群）。当│G│的因数是pk形的数即一素数p的k次幂时，则G必有阶为pk的子群。这就是有名的西洛第一定理。若除尽│G│的p的较高次幂是pm，其中p是素数，m是自然数，则G的pm阶子群称为西洛p子群。所谓西洛第二定理，其意为：
（1）G中任两个西洛p子群在G内是共轭的；
（2）G中西洛p子群的个数N，必满足N呏1(modp)，且为任一西洛p子群的正规化子在G内的指数；
（3）G中凡是阶为pk的子群必为某西洛p子群的子群。进一步有关于有限可解群的西洛基定理:G为可解群的充分必要条件是G有一组西洛基S1，S2，…，Sr，使G=S1S2…Sr。所谓西洛基，是指当G的阶（素因数分解）时，G的一组西洛pi子群Si，i=1，2，…，r，且，使。可解群的西洛基往往不止一组，但是，可解群的任意两组西洛基S1，S2，…，Sr与p1，p2，…，Sr是等价的，即在G中必有元素g使。阶为素数幂的群，习惯上称为p群。西洛子群都是 p群。有限可解群可以表为 p群之积。西洛第一定理和第二定理统称为西洛定理。在有限可解群中可得到西洛定理推广的结果:有限群G为可解群的充分必要条件是，只要有分解│G│=mn，(m，n)=1，G就有阶为m的子群；当G是可解群时，凡是阶为m的子群必互为共轭，若m1│m，则G中凡是阶为m1的子群必为G中至少一个阶为m的子群的子群。这样的m阶子群，通常称为可解群G中的霍尔π子群。
所谓群的π 性质，意即西洛性质的推广。西洛性质是西洛定理的同义语， 即如果有限群G的阶|G|=g，h│g，(h，g/h)=1，h为素数幂，那么G至少有一个h阶子群，且任意两个h阶子群是共轭的，而G中凡是以h的因数为阶的子群，一定是G中某个h阶子群的子群。P.霍尔去掉上述条件中的“h为素数幂”而设“G是可解群”并得到了同样的结论。于是，根据P.霍尔的这一思想方法，将“h为素数幂”改为其他条件来进行探索的工作颇多。例如，“h为素数幂”改为“G包含一个h阶幂零子群”，仍得到相应的结论，即古典的西洛定理推广到含有h的一切素因数的 π上所得的结果。
幂零群当可解群 G的西洛基中诸西洛子群都是正规子群时，则可解群G称为幂零群。幂零群是可解群中的一个子类。有限群G为幂零群的充分必要条件是，G可表为p群的直积。p群自身当然是幂零群。除了这个充分必要条件外，还有几个互为等价的充分必要条件，其中最重要的是，G有上中心列或下中心列。所谓上中心列，是指G有长为m的子群列，使，且其中 Z1(G)为 G 的中心Z(G)，而递归地给出Zk+1(G)使 Zk+1(G)/Zk(G)是商群G/Zk(G)的中心。由G的限性可知，必有某自然数k使，因此当m≥k时， 恒有Zm(G)=Zk(G)。特别地，有某m使Zm(G)=G。所谓下中心列，是指G有长为n的子群列。设H、K是G的任意两个子集，[H，K]表示由形如 的元素所生成的G的子群，即[H，K]=<[h，k]│h∈H，k∈K>，于是[H，K]=[K，H]。当[x1，…，xn]定义后，再递归地定义。同样，对G的子集H1，…，Hn也作类似的定义，且当任意xi∈G(i=1，2，…，n)时，则定义，因此，且。易知。从G的有限性可知，有某自然数k使。因此当m≥k时恒有Km(G)=Kk(G)。特别地，有自然数 n使Kn+1(G)=1。有限群的上中心列和下中心列两者同时存在，且其长相等， 此时G必为幂零群，称为n类幂零群。因而，1类幂零群就是交换群。由此可知，幂零群是介于交换群与可解群之间的一类群。幂零群有下中心列，可解群则有换位群列。G为可解群的充分必要条件是，G有换位群列。所谓换位群列，是指G的子群列，式中为的换位子群，即，而n是某一正整数。此时G也称为n步可解群。1步可解群就是交换群。
p群在有限群的研究中，p群具有重要的意义。互不同构的pn阶群究竟有多少个，是一个古老而艰难的问题。迄今只解决了当p为奇素数且n≤6时以及当p=2且n≤7时pn阶群的个数问题。关于p群方面的工作颇多，其中由P.霍尔发表的计数原理与正则 p群是奠基性的工作。所谓计数定理，例如，设｜G｜=pn，Sk(G)表示G中pk阶子群的个数，其中0≤k≤n。当Sk(G)=1(1
研究有限群的一个重要方法。设A、B是已知的两个群，如果作一群G，使得AG，且商群G/A≌B，那么群G称为B基于A的扩张。一般，B基于A的扩张不是惟一的，例如，A与B的直积A×B是B基于A的一个扩张，而A与B的半直积也是B基于A的扩张。所谓A与B的半直积为G，是指G=AB，AG，且A∩B=1（即B为A的补子群）。A与B的半直积又称为A的分离扩张。B基于A的扩张为 A与B的半直积的一个充分条件是：A的阶与B的阶互素。这就是著名的舒尔-扎森豪斯定理。当B为循环群时，很容易决定扩张的构造。例如，m阶循环群基于n阶循环群的扩张，必为G＝<α，b>，有定义关系αn=1，bm=αt，b-1αb=αr使满足rm呏1(mod n)及t(r-1)呏0(modn)。因为有限群有合成群列，这里，Gi/Gi+1是单群。因此，Gr-1是单群，且Gr-2是Gr-2/Gr-1基于Gr-1的扩张。若得知Gr-1的构造，则可借助于扩张理论得知Gr-2的构造，从Gr-2的构造以及Gr-3是Gr-3/Gr-2基于Gr-2的扩张可知Gr-3的构造，如此继续进行下去，则终究可得知G的构造。由此可见，研究单群与扩张理论是有限群研究的根本课题。
转移研究有限群的一个重要方法。设 A是有限群G的任一个子群，将G表为A的右陪集的并集，即，于是│G:A│=n。令A┡=[A，A]，并作商群A/A┡，且用表以G关于A┡的右陪集为元素的 ，若令，则知的每一元素可惟一表为μ=αμi，即惟一决定数码i及交换群A/A┡的一个代表元素α，α∈A，因此，对G的每一元素g，有，式中(1g，2g，…，ng)为(1，2，…，n)的一个排列，且αi，g∈A。作矩阵Mg=(αi，g)使其第i行第ig列交叉处的元素为αi，g(i=1，2，…，n)，而其他处的元素均为0。易证。由此可知，映射g →Mg是G的一个同态映射，称为G的单项表示。因A/A┡是交换群，故可引进行列式，简记为。于是，映射也是G的同态映射，即G到A/A┡内的同态映射，称为G到子群A的转移。利用转移方法可得出许多重要结果。例如，有限群G的西洛p子群p若包含于其正规化子的中心之内，即，则有G=Np，N G，N∩p=1。这就是又一个著名的伯恩赛德定理。由此可知，阶为合数的单群只有两种可能：或为阶被12整除的单群或为阶被8整除的单群。
超可解群它是介乎幂零群与可解群之间的一类有限群。所谓超可解群，是指有限群G有一个有限多个正规子群的递降列使每个商群Gi-1/Gi为循环群。因此，超可解群是可解群的特例，又是幂零群的推广。判断有限群G 为超可解群有许多等价的充分必要条件，其中常见的有：
（1）G的每个极大子群的指数为素数；
（2）G的主群列的商因子皆为素数阶的循环群；
（3）G的每一子群H(≤G)都有一切可能阶的子群。
参考书目
W. Burnside，Theory of Groups of Finite Order， 2nd ed.，Cambridge Univ. Press， Cambridge， 1911.
D.Gorenstein，Finite Groups， Harper and Row， New York， 1968.
B.Huppert， Endliche Gruppen，I，Springer-Verlag，Berlin， 1967.
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