[拼音]：shulun wangge qiujifenfa

[外文]：number theoretical method for numerical integration

高维数值积分数论方法研究开始于20世纪50年代末，其理论基础是数论中的一致分布论。命Us表示 s维单位立方体。假定是Us上定义的函数，并假定存在且其绝对值以C为界。命 是Us中具有偏差D(n)的点集。所谓数论方法就是用被积函数在p(k) (1≤k≤n)上值的算术平均

作为Us上定积分

的近似值，而误差由下面的公式给出：

J(ƒ，p(k))就是由点集p(k)(1≤k≤n)定义的一个求积公式。因此寻求Us上较佳求积公式的问题即等价于寻求Us上较佳偏差的点集的问题。从计算方法的观点看，不仅要求点集p(k)(1≤k≤n)的偏差小，而且要求p(k)的形式简单，易于计算。

（1）科罗博夫-劳卡方法　命p表示素数，a=(α1，α2，…，αs)表示整数向量，科罗博夫和E.劳卡证明了，对于任意p，皆存在a，使点集

有偏差。也就是说用点集Q(k)(1≤k≤p)构造的求积公式有误差。对于p求出a的计算量为O(p2)次初等运算。因此当p较大时，算出a来很困难。

（2）分圆域方法　分圆域是一个次代数数域。利用 的独立单位组可得它的一个适合于

的单位列nl(l＝1，2，…)，其中表示nl的共轭数。如果使

则得点集

用这一点集构造的求积公式的误差为

式中ε为任意正数。算出nl、hjl(1≤j≤s-1)的计算量为O(lognl)。因此算出nl和没有困难，但缺点是误差略为偏大些。

当2≤s≤18时，上述的p、a、nl和h都已汇编成表，可供查阅。

数论方法得到的求积公式的误差主阶均与维数无关，所以当s较大时，用数论方法近似计算Us上的定积分比较合算。

参考书目

 王元著：《数论在近似分析中的应用》，科学出版社，北京，1978。

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