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偏微分方程的基本解

[拼音]:pianweifen fangcheng de jibenjie

[外文]:fundamental solution of partial differential equation

偏微分方程的一种具有特定奇异性的解,由它可以构造出一般的解。例如对于二维和三维拉普拉斯方程的基本解 可用来构造出该方程的“通解”以及格林函数(见椭圆型偏微分方程)。对于三维的波动方程和热传导方程,它的基本解

也有类似的作用(见双曲型偏微分方程、抛物型偏微分方程)。

J.(-S.)阿达马对二阶线性偏微分方程

在解析系数与非抛物(即det(αij)≠0)的条件,作出了以下形状的基本解

式中U、V、W是,的解析函数,Г是 p与p0在度量下的测地距离的平方,

广义函数是研究基本解的有力工具。线性偏微分算子 l的基本解即适合下式的广义函数E(p,p0):l(E)=δ(p-p0),δ是狄喇克函数。当l为常系数算子时,E(p,p0)=E(p-p0)。 若能作出E,则l(u)=ƒ将有解u=E*ƒ:l(E*ƒ)=l(E)*ƒ=δ*ƒ=ƒ。

对常系数偏微分算子l,利用傅里叶变换可形式地作出基本解这里根本的困难是l(ξ)的零点将使该积分发散。20世纪50年代中期,L.赫尔曼德尔、B.马尔格朗热与L.埃伦普雷斯独立克服了这个困难,证明了常系数线性偏微分算子基本解的存在。这是偏微分方程论的重大进展。

对变系数线性偏微分算子,则有必要将基本解概念推广为拟基本解。在构造拟基本解并研究其性质与应用方面,拟微分算子与傅里叶积分算子有着根本的作用。

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