[拼音]：chengzi

[外文]：multiplier

傅里叶分析中通过傅里叶系数乘上一个数列，或通过傅里叶变换乘上一个函数来定义的一类算子。

设P、Q 是两个具有某种特性的周期为 2π的函数类，{λk}(k=0，±1，±2，…)是给定的复数列。如果对P 中任意函数ƒ(x)的傅里叶系数сk:

乘以λk 所得到的数列{λkсk}必定是 Q中某函数g(x)的傅里叶系数，即数列{λk}确定了一个从ƒ∈P映到g∈Q的算子T:Tƒ=g，就称T为(P，Q)乘子，有时也直接称{λk}是(P，Q)乘子，其中P，Q可以是有界函数类B，连续函数类C，p次幂为勒贝格可积的函数类Lp，等等。

数列{λk}应该满足什么条件，才是(P，Q)乘子呢?研究这类问题的定理称为乘子定理。波兰数学家J.马钦凯维奇在1939年提出了下列著名定理.

设{λk}满足条件

式中M是常数，则{λk}是(Lp，Lp)乘子(p>1)，这里Lp表示周期为2π的p次幂可积函数类.

对非周期函数可以类似地定义乘子。设m（x）是给定在n维欧氏空间 Rn上的一个有界可测函数，如果对于L2∩Lp中任意函数ƒ(x)的傅里叶变换弮(y)，乘积m(y)·弮(y)必定是Lp(Rn)中某个函数g(x)的傅里叶变换，并且存在常数M，使得

式中

也就是说，对一切ƒ∈L2∩Lp，由等式

所确定的算子T是Lp上的有界算子:就称T为对应于m(x)的Lp乘子算子，或简称Lp乘子，有时也直接称m(x)是一个Lp乘子。1956年苏联数学家C.Γ.米赫林证明了下面的定理。

设m(x)在Rn中除原点外是 k阶连续可微的，其中k为大于n/2的整数，还假设m(x)的所有阶数不超过k的偏导数满足条件

式中α=(α1，α2，…，αn)，αi是非负整数，│α│=α1+α2+…+αn≤k，则m(x)是Lp乘子(p>1)。

乘子算子的特点是它同平移算子可交换。平移算子τh的定义为(τhƒ)(x)=ƒ(x-h)，这里 h是Rn中一个向量。Lp上的有界线性算子 T是乘子算子的充分必要条件为它与平移算子可交换，即对任意h∈Rn，有 Tτh=τhT成立。

如果不通过傅里叶变换直接来表示乘子算子，那么在一定意义上说，乘子算子实际上就是卷积算子Tƒ=ƒ*φ，其中*表示卷积运算。

设ƒ(x)是多元函数，在研究ƒ(x)的多重傅里叶级数的各种形式的部分和（方形和，矩形和，球形和）是否依Lp范数收敛到ƒ(x)时，遇到下述类型的乘子问题：设m(x)是某个可测集D的特征函数ⅹD(x)，

问D具有什么样的几何形状时，ⅹD(x)是Lp乘子？这个叙述起来十分简单的问题，实际上却异常复杂。以二维的情形为例，如果D是半平面，或多边形时，ⅹD(x)是Lp乘子(p>1)；但当D是单位圆时，问题就复杂得多了。一般地说，若D是n维空间的单位球，对应于ⅹD(x)的算子T是否为乘子算子的问题，被称为圆盘问题。它曾在长时期内没能解决。容易推知，对于区间以外的p，T不是 Lp上的有界算子。因此，曾有一个所谓“圆盘猜想”，猜想：对于满足的一切p，T是Lp上的有界算子。为了研究此问题，美国数学家E.M.施坦与C.费弗曼先研究稍简单一些的博赫纳-里斯球形和算子Tδ:

式中

它和单位球的特征函数的差别在于它在 ｜x｜=1处具有一定的光滑性。他们推测对:一切δ>0，当时，Tδ是 Lp上的有界算子。1970年费弗曼证明了当时，这个推测成立。然而，圆盘猜测却在1971年被费弗曼否定了。他通过构造反例说明：当空间维数n>1时，T只能是L2上的有界算子，若p≠2，T不可能在Lp上有界。由此可见，乘子算子的复杂性。

泛函分析，微分方程中的许多算子都是乘子算子。因此，乘子定理在傅里叶分析，泛函分析，微分方程，位势理论以及数学物理中有广泛的应用。

参考书目

J. Marcinkiewicz， Sur les Multiplicateurs des Séries de Fourier，Studia MatheMatica， T. 8， pp. 78～91， Warsaw，1939.

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