[拼音]：feixianxing fangchengzu shuzhi jiefa

[外文]：numerical method of system of nonlinear equation

n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为

式中ƒi(x1，x2，…，xn)是定义在n维欧氏空间Rn 的开域D上的实函数。若ƒi中至少有一个非线性函数，则称(1)为非线性方程组。在Rn 中记 ƒ＝ 则(1)简写为ƒ(尣)=0。若存在尣*∈D，使ƒ(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。

牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序：

式中

是ƒ(尣k)的雅可比矩阵，尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。

这个程序至少具有2阶收敛速度。由尣k算到尣k+的步骤为：

（1）由尣k算出ƒ(尣k)及；

（2）用直接法求线性方程组的解Δ尣k；

（3）求。

由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和 n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。

为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准，其中P为迭代法的收敛阶，W为每迭代步计算函数值ƒi及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同，均不算在W 内）。效率e越大表示此迭代法花费代价越小，根据效率定义，牛顿法(2)的效率为。

牛顿法有很多变形，如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即

式中I是单位矩阵。牛顿法是局部收敛方法，因而对初始近似尣0限制较严，为放宽对尣0的要求，扩大收敛范围，通常可引进松弛因子ωk，得到牛顿下降法：

式中ωk的选择应使成立。

为减少解线性方程组次数，提高效率，可使用修正牛顿程序

这种算法也称为萨马斯基技巧，它的收敛阶为 p =m+1，由尣k 计算 的工作量为W =n2+mn，于是该法的效率。当n=10，m＝7时，当n＝100，m＝37时，，由此看到修正牛顿法(4)比牛顿法效率高，且m 越大效果越明显。

在计算机上往往采用不计算偏导数的离散牛顿法，即

式中

其中ej为基向量，，若取，则(5)仍具有2阶收敛速度。其效率与牛顿法相同。

若在牛顿法(2)中解线性方程组不用直接法，而采用迭代法则得到一类解非线性方程组的双重迭代法。按解线性方程组采用的方法不同就得到不同名称的迭代法，如牛顿－赛德尔迭代法，牛顿－SOR迭代法，牛顿－ADI迭代法，等等。这些方法都具有超线性收敛速度，工作量也比牛顿法大，除了对某些特殊稀疏方程组外，通常用得校少。若将解线性方程组迭代法的思想直接用于非线性方程组(1)，然后把(1)化为一维方程求解，可得到另一类双重迭代法，由于采用的迭代法与解一维非线性方程的方法不同，则得到不同的双重迭代法。如果利用SOR迭代法后再用牛顿法解一维方程则得SOR－牛顿迭代法，在牛顿法中只计算一步而不进行迭代，则得一步的SOR－牛顿迭代，其计算公式可表示为

式中记号嬠iƒi表示；ω为迭代参数，当ω=1时就是赛德尔-牛顿迭代法，这类方法对解维数高的稀疏的非线性方程组是有效的。

若对方程组 (1)线性化时使用插值方法确定线性方程组

中的Ak和bk，则可得到一类称为割线法的迭代序列。假定已知第k步近似尣k，为确定Ak和bk，可在尣k附近取n个辅助点у忋(j=1，2，…，n)，使n个向量线性无关，由插值条件可知

由此可求得

由(6)解得以此作为方程 (1)的新近似，记作，于是得到

(7)称为解非线性方程组的割线法。辅助点у忋 取得不同就得到不同的割线法程序，例如取为常数(j=1，2，…，n)，就得到与(5)相同的程序，由于它只依赖于尣k点的信息，故也称一点割线法，若取它依赖于点尣k及， 称为两点割线法。其他多点割线法由于稳定性差，使用较少。

布朗采用对每个分量方程 ƒi(尣)=0逐个进行线性化并逐个消元的步骤，即在每迭代步中用三角分解求线性方程组的解，得到了一个效率比牛顿法提高近一倍的迭代法，即

式中

(8)中当i=n时求得xn记作，再逐次回代，求出(i=n-1，n-2，…，1)就完成了一个迭代步。布朗迭代程序的敛速仍保持p＝2，而每一迭代步的工作量，故效率对这方法还可与牛顿法一样进行改进，得到一些效率更高的算法。这类方法是70年代以来数值软件包中常用的求解非线性方程组的算法。

为减少牛顿法的计算量，避免计算雅可比矩阵及其逆，60年代中期出现了一类称为拟牛顿法的新算法，它有不同的形式，常用的一类是秩1的拟牛顿法，其中不求逆的程序为

式中，，，称为逆拟牛顿公式。计算时先给出尣0及 B0，由(9)逐步迭代到满足精度要求为止。每步只算 n个分量函数值及O(n2)的计算量，比牛顿法一步计算量少得多。理论上已证明，当尣0及B0选得合适时，它具有超线性收敛速度，但实践表明效率并不高于牛顿法，理论上尚无严格证明。

求方程组 (1)的问题等价于求目标函数为的极小问题，因此可用无约束较优化方法求问题(1)的解（见无约束优化方法）。

又称嵌入法，它可以从任意初值出发求得方程组(1)的一个足够好的近似解，是一种求出好的迭代初值的方法。连续法的基本思想是引入参数 t∈[0，b]，构造算子H(尣，t)，使它满足条件：H(尣，0)=ƒ0(尣)，H(尣，b)=ƒ(尣)，其中ƒ0(尣)=0的解尣0是已知，方程：

在t∈[0，b]上有解尣=尣(t)，则尣(b)=尣*就是方程(1)的解。当b有限时，通常取b=1，例如可构造。

这里尣0是任意初值，显然H(尣0，0)=0，H(尣，1)=ƒ(尣)。为了求得(10)在t=1的解尣*=尣(1)，可取分点0=t0

H(尣，ti)=0 (i=1，2，…，N) (12)

的解尣i，如果取尣i-1为初值，只要足够小，牛顿迭代就收敛，但这样做工作量较大。已经证明，如果方程组(12)只用一步牛顿法，当t=tN=1时，再用牛顿迭代，结果仍具有2阶收敛速度。以(11)为例，得到连续法的程序为：

若H(尣，t)的偏导数Ht(尣，t)及在D×[0，1]嶅R上连续。且非奇异，则由(10)对t求导可得到等价的微分方程初值问题:

于是求方程(10)的解就等价于求常微初值问题(13)的解，求(13)的解可用数值方法由t=0计算到t=tN=b得到数值解。已经证明只要N足够大，以尣N为初值再进行牛顿迭代可收敛到方程(1)的解x*，这种算法称为参数微分法。

20世纪60年代中期以后，发展了两种求解非线性方程组(1)的新方法。一种称为区间迭代法或称区间牛顿法，它用区间变量代替点变量进行区间迭代，每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。这是区间迭代法的主要优点，其缺点是计算量大。另一种方法称为不动点算法或称单纯形法，它对求解域进行单纯形剖分，对剖分的顶点给一种恰当标号，并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形，从而得到方程(1)的近似解。这种方法优点是，不要求ƒ(尣)的导数存在，也不用求逆，且具有大范围收敛性，缺点是计算量大。

参考书目

J.M.Ortega and W.G.Rheinboldt，Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several variables，Academic Press，New York，1970.

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