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拓扑动力系统

[拼音]:tuopu dongli xitong

[外文]:topological dynamic system

又称抽象动力系统,是具有连续性质的动力系统。它是通过拓扑映射(不一定通过微分方程)来定义的。设常微分系统

的右侧函数,且满足解的惟一性条件,为n维欧几里得空间。由于S(x)与t无关,不失一般性,可设(*)的每个解φ(x,t)在整个实轴I上有定义,于是它确定了×I到的变换,满足:

(1)初值条件:φ(x,0)=x;

(2)φ(x,t)对x,t一并连续;

(3)群的条件:即对任意x∈,任意t1,t2∈I有;

(4)φ(x,t)对t可微。

为了更一般地研究问题,可以抛开常微分系统,并假设空间是一般的度量空间R。设φ(x,t)是R×I到R且满足性质①、②、③的单参数连续变换群,则所有这些变换的全体称为拓扑动力系统或抽象动力系统,记作,其中参数t代表时间。点集{φ(x,t),t∈I}称为过点x的轨线或轨道,记作φ(x,I)。仿此,称为正半轨线,为负半轨线。φ(x;为弧段。当t∈I +(半群),称为半动力系统或半流;当t∈N(整数加群),称为离散动力系统或离散流。若φ(x,t)=x,对一切t∈I,则称点x为休止点,若φ(x,t+ω)=φ(x,t),对一切t∈I,其中ω>0,则称φ(x,t)为周期轨线,满足上述等式的小正数ω,称为周期轨线的周期。

例如,下面是一个有趣的拓扑动力系统──别布托夫系统。

令勪。对于ƒ(x),g(x)∈勪 ,定义距离

对距离ρ,勪 构成完备的可分的度量空间。定义映射φ:勪×I→I 如下:

于是它构成一个拓扑动力系统,称为别布托夫系统,简记为。

由n个符号所组成的一切可能的双无穷序列,在上述类似的距离和轨线的定义下,组成动力系统,称为符号动力系统,它可视为的子系统。很多拓扑动力系统可嵌入成为它的子系统。

若ƒ(x)呏с,则φ(ƒ(x),t)是休止点;若 ƒ(x+ω)=ƒ(x),对一切x∈I,其中ω>0,则φ(ƒ(x),t)是周期轨线。周期轨线在中处处稠密。另外中含有在勪中处处稠密的轨线。

极限点集及轨线分类

G.D.伯克霍夫认为,动力系统理论主要是研究各种轨线的类型及其间的关系。为了研究轨线的分类,必须了解轨线在无穷时(t→±∞)的状态。

极限点集

设:实数列。如果有,则称点y是轨线 φ(x,t)的ω-极限点,Ωx表示φ(x,t)的一切ω-极限点集。若,则称y是φ(x, t)的α-极限点,Ax表示φ(x, t)的一切α-极限点集。

不变集

设给定 A吇R,若对一切t∈I,φ(A,t)=A,则称A是不变集。Ωx和Ax是闭的不变集。任何一条轨线是不变集,但不一定是闭集。

极小集

∑吇R称为极小集,若它是非空、闭的且不变;同时它没有任何真子集也具有这三条性质。显然,Σ中的每一条轨线在Σ上处处稠密。另外,在上所定义的拓扑动力系统,若对轨线φ(x,t)而言,,则φ(x,I)就是一个极小集,但它不是紧致的。而比较有趣的是紧致极小集,如休止点和周期轨线就是紧致极小集。在R2上定义的连续动力系统的紧致极小集只能是休止点和周期轨线。但当R≠R2时,情形就不同了。

例如,式中θ,φ的周期都为1。这样就在二维环面T2上定义了动力系统。当у是有理数时,T2上都是周期轨线;而у是无理数时, T2上的每条轨线在其上处处稠密,T2构成紧致极小集。

又如,前例中,当у是无理数时,令,,式中 (θ,φ)是对θ,φ周期都为1的连续周期函数。对;当,。直观地说,这就是将前例中的一条过点p且在T2上处处稠密的轨线用奇点p切断。这时T2不再是极小集,而奇点p是极小集。

伯克霍夫证明,若R是紧致度量空间,则在其上定义的动力系统Rt至少包含一个紧致极小集。

当R是紧致的二维定向流形,在其上定义了C2光滑动力系统。若A是Rt的极小集且在R上无处稠密,则A必是休止点或周期轨线。若Ωx中不包含休止点或周期轨线,则Ωx=T2=R。但当Rt只是C1光滑时,A.当儒瓦在1931年举出过反例(见常微分方程定性理论)。

轨线分类

根据轨线的极限点的性质,可分为:

(1)若Ωx=═,则称φ(x,t)为正向远离;

(2)若Ωx≠═,但φ(x,I)∩Ωx=═,则称φ(x,t)为正向渐近;

(3)若,则称φ(x,t)为正向泊松稳定,简称p+稳定。

仿此,有负向或双侧的远离、渐近和泊松稳定轨线,后者分别简称为p-或p稳定。休止点和周期轨线是p稳定的。R2上的连续动力系统的 p稳定轨线只能是休止点或周期轨线,且其上的 p+或p- 稳定轨线必是p稳定轨线。而当R≠R2时,情形就完全不同了。如前述的T2上被奇点切成两段的轨线, 一条是p+稳定的, 另一条是p-稳定的,而T2上其余的都是p 稳定的轨线。比起远离和渐近轨线来,p 稳定轨线是较复杂和较有兴趣的。从天体力学观点看,p稳定轨线在它的运行过程中,将不断地在其轨线的任一点的任意小邻域内再现。与此现象相反的是下面的情形。

设点x∈R,若存在它的邻域U(x)及时间T>0,使得当t≥T 时,U(x)∩φ(x,t)=═,则称x为游荡点。R上的所有游荡点集W是R上的不变开集。V=R\W是相对于R的非游的点集,它是不变闭集。所有p稳定轨线上的点都是非游荡点。反之,却不然。如前述的被奇点切断的那条轨线,若再用有限个奇点将它切断,则每两个奇点之间的那些轨线就既非p-稳定也非p+稳定,但其上都是非游荡点。

对于p稳定轨线φ(x,t),根据在其运行过程中,它在轨线上任一点的任意小邻域中再现的时间序列的性质不同,可分成很多类型,除了周期轨线外,最重要的是以下两类。

若对任给ε>0,存在T(ε)>0及I上对T(ε)而言的相对稠密集{τn},使得对一切t∈I和一切τn,有ρ(φ(x,t),φ(x,t+τn))<ε,则称轨线φ(x,t)是几乎周期轨线(或称概周期轨线)。周期轨线便是几乎周期的,若周期轨线的周期为ω>0,则可取T(ε)=ω,τn=nω。

若上述相对稠密集{τn}是依赖于轨线上的点y=φ(x,t)或者说依赖于t的,即{τn(t)},则称φ(x,t)为回复轨线。回复轨线和几乎周期轨线的闭包的性质是不同的。伯克霍夫证明,紧致极小集内的每条轨线都是回复的;反之,在完备空间内回复轨线的闭包是紧致极小集。而紧致极小集Σ成为几乎周期轨线的闭包的充分必要条件是:Σ是紧致、交换、连通拓扑群。

前例中未被奇点切断的轨线都是p稳定的,但它们不是回复的。类似地,可构造双周期函数(θ,φ),使得整个环面T2是回复轨线的闭包而不是几乎周期轨线的闭包。

A.M.李亚普诺夫稳定性(见常微分方程运动稳定性理论)、吸引区等概念已经推广到拓扑动力系统。对非自治微分方程的解来引进动力系统,即所谓“斜积流”,这是值得注意的动向。

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