[拼音]：erciyu

[外文]：quadratic field

有理数域Q的二次扩域。每个二次域都可表示成其中d 不等于1是无平方因子的有理整数，按照d>0和d<0，分别称K为实二次域和虚二次域。

二次域是除了有理数域之外最简单的一类代数数域。它有如下较简单的数学结构和特性：

（1）K的（代数）整数环为OK=Z[ω]，即K中每个（代数）整数均可写成α+bω，其中α、b∈Z，而（当d呏2，3(mod4)时），（当d呏1(mod4)时）。由此可知，K的判别式分别为d(K)=4d和d(K)=d。

（2）每个有理素数p在二次域K 中的分解规律为：对于p≥3时，若p｜d(K)，则p是 OK中一个素理想的平方（即p在K中分歧）；若pd(K)，当，则p为OK中两个不同素理想的乘积(即p在K中分裂)；当-1，则p在OK中仍生成素理想(即p在K中惯性)。对于素数p=2，若 2｜d(K)，则 2在K中分歧；若2d(K)，则必然d呏1(mod4)。当d呏1(mod8)时，2在K中分裂；当d呏5(mod8)时，2在K中惯性。

（3）二次域K 的单位根群记为WK。当时，；当 时，WK={±1，±ω ，±ω2}，。而对于所有其他的二次域K，则WK={±1}。

（4）二次域K的单位群 UK，指的是整数环 OK中乘法可逆元全体。当 K为虚二次域时，UK=WK，而对于实二次域 K，存在一个单位 ε>1（称为 K的基本单位），使得

（5）二次域 的（理想）类数hK也有简单的表达式：当d≤-5时，（对于d=-1和-3，熟知hK=1）；当d>0时，

式中D＝｜d(K)｜;ε为基本单位；ln表自然对数；ⅹD是模D（惟一的）实本原特征。

1801年，C.F.高斯发表了他在20岁时所写的数论著作《算术研究》，展现了他的一个杰出的思想，即把有理数域和有理整数环上的许多初等数论问题，放到更大的域和环──二次域和它的(代数)整数环上来研究。他在这些方面的工作，是研究二次域的开端，也是代数数论的一个源头。

二次域有许多研究课题，其中最著名的是高斯关于类数问题的两个猜想：

（1）只有有限多个类数为1的虚二次域；

（2）存在着无限多个类数为1的实二次域。关于第一个猜想，1934年，H.海布雷恩证明了当d(K)→时，hK→。1935年C.L.西格尔进一步证明了。A.贝克于1966年和H.M.斯塔尔克于1967年各自独立地证明了类数为1的虚二次域只有9个：d=1，2，3，7，11，19，43，67，163。至于第二个猜想，则至今仍未解决。

参考书目

D. B. Zagier，Zetaƒunktionen und Quadratische Krper，Springer-Verlag， Berlin， 1981.

严正声明：本文由历史百科网注册或游客用户梓豪自行上传发布关于» 二次域的内容，本站只提供存储，展示，不对用户发布信息内容的原创度和真实性等负责。请读者自行斟酌。同时如内容侵犯您的版权或其他权益，请留言并加以说明。站长审查之后若情况属实会及时为您删除。同时遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，尊重和保护作者的劳动成果，转载请标明出处链接和本声明内容：作者：梓豪；本文链接：https://www.freedefine.cn/wenzhan/131010.html