[拼音]：sheying cedu

[外文]：projective measurement

1853年E.N.拉盖尔将角度的度量概念与交比的射影性质联系起来，是利用射影几何学的观点解释角度的一个重要尝试。1859年A.凯莱将拉盖尔思想进一步发挥，得到角的射影测度的概念。首先，将拉盖尔公式中的一对圆点，看作是变态(退化)的二级曲线，并以常态（非退化）二级曲线来代替。于是作了如下的推广：在射影平面内，先选定一个常态二级曲线及一个任意常数 k(k≠0)，再过任意给定的两条直线α与b的交点，作二级曲线的两条切线t1与t2，并规定了一个函数(α，b；t1，t2)，显然这个函数对任意给定的两直线α，b，其交点α×b及过交点的两条切线t1，t2都是确定的，从而kln(α，b;t1，t2)除了一个符号外，也被确定。而且函数φ(α，b)满足以下条件:，这里α、b、с 是共点的三条直线。 而这些条件正是欧氏几何中二条直线所成角度应当满足的，因此将 叫做两直线α，b所成角的射影测度，预先取定的二级曲线叫做这个测度的绝对形，而k叫做测度系数。

有了角的射影测度，可对偶地建立另一种形式的测度：取定一条常态二阶曲线及一个非零的任意常数k，连结任意给定的两点A，B，设直线A×B与二阶曲线交于两点T1及T2，且规定函数d(A，B)=kln（A，B;T1;T2），显然它是A，B的函数，且满足欧氏几何中两点间有向距离的条件：d(A，A)=0，d(B，A)=-d(A，B)，d(A，B)+d(B，C)=d(A，C)，这里A，B，C是共线的三点。因此将函数d(A，B)=kln(A，B;T1，T2)，叫做A，B两点间的有向距离，因为它是利用射影概念交比定义的，所以又叫做距离的射影测度。预先给定的二阶曲线叫做测度的绝对形，k叫做测度系数。若已知常态二阶曲线的方程是

二已知点A，B的坐标分别是(α1，α2，α3)，b1，b2，b3，A、B联线上任意一点的坐标可写作将其代入二阶曲线方程中，得到关于λ的一个二次方程，它的两个根分别以λ1及λ2表示，则T 1及T 2的坐标为，再利用交比的性质：

可得到d(A，B)的解析表达式。关于φ(α，b的解析表达式可利用完全相同的方法得出。上面以二次曲线（二阶与二级）为绝对形，规定了射影测度的概念。应该指出，确定距离的射影测度的绝对形即常态二阶曲线，其切线的 构成了用以确定角的射影测度的绝对形即常态二级曲线。由于二次曲线有实虚之分，取实虚不同的二次曲线作绝对形，这样就构成了与欧氏几何完全不同的非欧几何（罗氏几何和黎曼几何）的模型（见非欧几里得几何学）。1871年F.克莱因首先发明使用射影测度来说明非欧几何。简单来说，他在复射影平面上的实绝对形内部，规定了一些具体概念，定义射影测度后，作成了一个罗氏几何的射影模型即克莱因模型，在这个模型里，罗氏几何的全部公理都能够得到解释，因而罗氏几何的全部概念和定理都能在模型中体现出来。

参考书目

孙泽瀛编：《近世几何学》，高等教育出版社，北京，1959。

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