[拼音]：gedian wenti

[外文]：problem on lattice point

或称整点问题，研究一些特殊区域甚至一般区域中的格点的个数。格点又称整点，是指坐标均为整数的点。格点问题是数论中的一类重要问题，起源于以下两个著名问题的研究：

（1）狄利克雷除数问题。设x>1，D2(x)表区域1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x上的格点个数。1849年，P.G.L.狄利克雷证明了 D2(x)=xlnx+(2у-1)x+Δ(x)，这里，у是欧拉常数。这一问题的目的是要求出使余项估计 成立的λ的下确界θ。因为，其中d(n)是除数函数，所以把这一格点问题称为狄利克雷除数问题。 ②圆内格点问题。 设x>1，A2(x)表圆上的格点数。C.F.高斯证明了A2(x)=πx+R(x)，这里。求使余项估计成立的λ的下确界α的问题， 称为圆内格点问题或高斯圆问题。显有，这里r2(n)是的全体整数解的个数。利用初等方法，1903年，Γ.Ф.沃罗诺伊证明了θ ≤1/3；1906年，W.谢尔平斯基证明了α≤1/3；利用较深的分析方法，1922～1937年，J.G.范·德·科普特首先证明了 α≤37/112，θ ≤27/82；1934～1935年，E.C.蒂奇马什证明了α≤15/46；1942年， 证明了α≤13/40；1963年，陈景润、尹文霖证明了α≤12/37；1950年迟宗陶和1953年H.-E.里歇先后证明了θ ≤15/46，他们所用的方法都是闵嗣鹤提出的;1963年，尹文霖证明了θ≤12/37；1985年， Γ.Α. 科列斯尼克证明了θ≤139/429，1985年，W.G.诺瓦克证明了α≤139/429。另一方面，1916年G.H.哈代已证明α≥1/4；1940年，A.E.英厄姆已证明θ≥1/4。一些数学家还对余项Δ(x)和R(x)的均值做了估计。猜测θ=α=1/4，但是至今未能证明。这两个问题的直接推广是k维除数问题、 球内格点问题以及k 维椭球内的格点问题等。对一般格点问题也有不少研究。关于这些问题我国数学家做了不少工作。

关于一般平面区域的格点问题，M.V.贾尔尼科推广高斯的方法后于1924年证明了:设Г是可求长的约当闭曲线，其长为l，其所围面积为A；N是Г内及其上的格点数，则有│N-A│

参考书目

著:《指数和的估计及其在数论中的应用》，科学出版社，北京，1963。

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