[拼音]：xushu
[外文]：ordinal number
论基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的数的推广。序数概念是建立在良序集概念之上的，而良序集又是偏序集、全序集的特殊情形。
偏序、全序和良序次序是二元关系（见映射）的一个非常重要的类型。设R是定义在A上的满足下列条件的二元关系：
（1）对于一切x∈A有xRx（自反性）；
（2）对于一切x，y∈A，由xRy与yRx可得x=y（反对称性）；
（3）对于一切x，y，z∈A，由xRy与yRz可得xRz（传递性），就称R是定义在A上的偏序，也称半序。偏序R通常记为≤或，α≤b)读作α在b前。 A连同其上定义的偏序≤，称为偏序集，记为〈A，≤〉。实数集上的通常的大小关系、 之间的被包含关系、自然数之间的可整除关系都是偏序的例。设≤为A上的偏序。如果在A上定义一个关系<，使得x （1）′对任何x∈A，x 序数原来被定义为良序集的序型，而良序集A的序型凴，作为从A的元素的属性中抽象出来的结果，是所有与A序同构的一切良序集的共同特征，即凴定义为{B｜B埍A}。这个定义从形式上看来是十分简单明瞭的，但在ZFC公理系统中不能证明它构成一个 。事实上，{B｜B埍A}是一个真类。因此，原来的那个定义是不成功的，必须修正，另走别的途径。设 α是一个良序集，ξ∈α，称S(ξ)＝{β∈α|β<ξ}为在良序集α中由ξ所生成的初始截段。1923、1928年，J.冯·诺伊曼把序数定义为满足下述条件的良序集α:对于一切ξ∈α，S(ξ)=ξ。例如在 9={0，1，2，…，8}中取一个元素2，S(2)={0，1}=2，9中任何其他元素也具有这个性质，所以9是一个序数。 集A称为归纳集，如果①═∈A，②只要α∈A就有α′＝α∪{α}∈A。归纳集A的存在性是由无限公理保证的。A的一切归纳子集之交N称为自然数集，它是小的归纳集。N是良序的，并且其中任一元素n的初始截段S(n)={0，1，2，…，(n-1)}=n，所以N是一个序数，这个序数通常用ω表示。N 的每一个元素n都是序数，称为有限序数。有限序数以属于每一个归纳集作为特征。其他序数称为超限序数，ω 就是小的超限序数。1937年R，M.鲁宾逊给出了序数的另一等价定义，良序集是一个序数，若〈α，∈〉是传递集，即只要x∈α且y∈x就有y∈α，这些定义没有康托尔原来定义的缺点。 序数有三种，第一种是0；第二种是某一序数α的后继α′=α∪{α}，称为后继序数；其他序数属于第三种，称为极限序数。对于任何良序集A，必有一个且仅有一个序数α使A与α序同构，此时α称为A的序数，用凴 =α表示。任何两个具有相同序数的良序集，必定序同构，因此序数是同构良序集的共同特征，这正是康托尔序数概念的实质。 设αξ（ξ<λ）为一序数列，在 A=中规定其任意两个元素〈γ，i〉、〈δ，j〉的次序如下： <γ，i>＜<δ，j>当且仅当i＜j或者i=j且γ＜δ；则〈A，＜〉构成一个良序集。A的序数可定义为序数列αξ(ξ<λ)之和，用表示之。特别地，当λ=2，α0=α，α1=β时，可简写为α+β；当对于任何ξ<λ，αξ=α时，可写成α·λ，称为两个序数α，λ的乘积。对于任何序数α、β、γ，它们的加、乘运算满足： （1）结合律，(α+β)+γ=α+(β+γ)，(α·β)·γ=α·(β·γ)； （2）左分配律，α·(β+γ)=α·β+α·γ。但交换律与右分配律对序数的和、积却并不成立，例如:ω+1>ω=1+ω;ω·2>ω=2·ω；1·ω+1·ω=ω·2>ω=(1+1)ω。由于全体序数构成一个真类（布拉利-福尔蒂定理），因此对于任何极限序数λ，序数列{αξ|ξ<λ}总有上界，且必然存在小的上界，它就是序数列{αξ|ξ<λ}的上确界。设α，β为序数，归纳地定义αβ如下： 对于任何序数α、β、γ，序数的幂满足： （1）同底幂的积，； （2）幂的幂，。序数的幂运算不满足“积的幂”性质：。 严正声明：本文由历史百科网注册或游客用户曜栋自行上传发布关于» 序数的内容，本站只提供存储，展示，不对用户发布信息内容的原创度和真实性等负责。请读者自行斟酌。同时如内容侵犯您的版权或其他权益，请留言并加以说明。站长审查之后若情况属实会及时为您删除。同时遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，尊重和保护作者的劳动成果，转载请标明出处链接和本声明内容：作者：曜栋；本文链接：https://www.freedefine.cn/wenzhan/129460.html