[拼音]：shuxi

[外文]：number system

通常指包括自然数（正整数）、整数、有理数、实数和复数的系统。这些数之间的关系如下表：

数的观念具有悠久的历史，尤其是自然数观念，其产生当在史前时期，详情已难于追索。但对数系建立严谨的理论基础，却在19世纪下半期才完成。

建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。

基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。事实上，英文calculate(计算)一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。我国古籍《易·系辞》中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这些都是匹配计数法的反映。

如果两个 之间能建立一个一一对应，就说这两个 是对等的。称对等的 具有相同的基数。如果一个 不可能对等于它的任何真子集，则称为有限集。非空有限集的基数，就是自然数。由此能通过 的并、积运算定义自然数的加法与乘法（见算术）。

基数理论依据的是一一对应原则。另一方面，为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准 。随后对某一有限 计数，就是将该 中每个元素顺次与标准 中的项对应；所对应的之后的项，就标志着给定 元素的个数。这种想法导致自然数的序数理论，它是G.皮亚诺于1889年建立的。

皮亚诺从不加定义的“ ”、“含有”、“自然数”与“后继”等词出发，规定自然数集满足下列五条公理：

（1）1是自然数。

（2）1不是任何其他自然数的后继。

（3）每个自然数都有一个后继（记α的后继为α┡）。

（4）α┡=b)┡蕴涵α=b)。

（5）设S是自然数的一个 。如果S含有1，且S含有α蕴涵S含有α┡，则S含有任何自然数。

之后这条公理就是熟知的数学归纳法公理。

一切自然数的集记为{1，2，3，…， n，…}，简记为N。

从上述公理出发，可以证明，对任何自然数α，b，存在惟一的自然数α+b，满足α+1=α┡，α+b┡=(α+b)┡。α+b)称为α与b的和，相应的运算称为加法。加法满足交换律与结合律。类似地，对任何自然数α，b，存在惟一的自然数α·b，满足α·1=α，α·b┡=α·b+α。α·b（记α·b为αb)称为α与b的积，相应的运算称为乘法。乘法也满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。

对自然数集可用下述方法定义一个全序。设α，b是自然数，如果存在自然数с，使得α=b+с，则称α>b或b<α。

在自然数集N 之外，再引入新的元素0，-1，-2，-3，…，-n，…。称N 中的元素为正整数，称0为零，称-1，-2，-3，…，-n，…为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。

零不仅表示“无”，它在命数法中还具有特殊的意义：表示空位的符号。我国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的零(sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。

我国最早引进了负数。《九章算术·方程》中论述的“正负术”，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程α+x=b)，如果α，b)是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。

关于整数系的严格理论，可用下述方式建立。在N×N（即自然数有序对的集）上定义如下的等价关系～:对于自然数有序对(α1，b1)，(α2，b2)，如果，就说(α1，b)1)～(α2，b)2)，N ×N 关于上述等价关系的等价类，称为整数。一切整数的集记为Z。

设p，q∈Z，(α，b)∈p，(с，d)∈q，则定义p＋q为(α+с，b+d)所在的等价类，pq为(αс+bd，αd+bс)所在的等价类。这样定义的加法与乘法满足交换律、结合律与分配律。对于给定的整数p，q，方程p+x=q有惟一的整数解，记为q-p。这种运算称为减法，它是加法的逆运算。

设(α，b∈p，如果α>b，则称p为正整数；如果α=b，则称p为零；如果αq或q

令自然数n对应于(n+1，1)所在的等价类，就把自然数集嵌入到整数集中。把(n+1，1)所在的等价类仍记为n。把(1，1)所在的等价类记为0，把(1，n+1)所在的等价类记为-n，就有Z={…，-n，…，-2，-1，0，1，2，…，n，…}。

古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。我国《九章算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用导源于除法运算的需要。除法运算可看作求解方程px=q(p≠0)，如果p，q是整数，则所给方程未必有整数解。为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有理数系。

关于有理数系的严格理论，可用下述方式建立。在Z×(Z\{0})即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义如下的等价关系：设，如果p1q2=p2q1，则称(p1，q1)～(p2，q2)。Z×(Z\{0})关于这个等价关系的等价类，称为有理数。(p，q)所在的有理数，记为。一切有理数的集记为Q。令整数p对应于即(p，1)所在的等价类，就能把整数集自然地嵌入到有理数集中。习惯上把仍记为p。

设为有理数，则定义为(ps+qr，qs)所在的等价类，为(pr，qs)所在的等价类。这样定义的加法与乘法满足交换律、结合律与分配律。对于给定的有理数α，β，方程α+x=β，αx=β（后者要求α≠0）恒有有理数解。第二个方程的解，称为α除β所得的商，相应的运算称为除法。除法是乘法的逆运算。Q 关于加法与乘法构成一个域，称为有理数域。

设如果pq是正整数，则称α是正的，记为α>0。于是仍可用α>β当且仅当α-β>0来规定Q上的全序。这个全序满足：α>β蕴涵α+γ>β+γ；α>0，β>0蕴涵αβ>0；给定α>0，β>0，存在正整数n，使得β实数

为表示各种几何量(例如长度、面积、体积)与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要引进无理数。约在公元前530年，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即）不能是有理数。

除了同类量可以相加外，上述这些量的另一显著特征是任一量能不断分割。这种“无穷可分性”，是实数系连续性的体现。

实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，K.（T.W.）外尔斯特拉斯(1859年开始)、H.C.R.梅雷(1869)、J.W.R.戴德金(1872)与G.（F.P.）康托尔(1872)作出了杰出的贡献。

大体说来，构造实数系有两条途径，一是戴德金的途径，另一是G.康托尔等人的途径。

康托尔实数论的出发点，是有理数的基本序列。设是有理数序列。如果对每个正有理数r，存在自然数N，使当n，m≥N 时，有，则称所给序列为一个基本序列，又称柯西序列。设是有理数的两个基本序列，如果对每个正有理数r，存在自然数N，使当n≥N时，有则称这是一个等价关系。有理数基本序列的集关于这个等价关系的等价类，称为实数。一切实数构成的集，记为R。对有理数α，令序列{α，α，…}所在的等价类（仍称为有理数α）与之对应，就能把有理数集嵌入于实数集中。不是有理数的实数，称为无理数。

设x，y是实数，则定义x+y为所在的等价类，xy为所在的等价类。实数集关于这样定义的加法与乘法构成一个域。

对于实数x，如果存在正有理数r与自然数 N，使当n≥N 时，，则称x为正的，记为x>0。于是又可用x>y当且仅当x-y>0来定义R上的一个全序。类似于Q，R也是阿基米德有序域。

由实数构成的基本序列必有极限（柯西准则）。这称为实数系的完备性。

戴德金实数论的出发点是有理数的划分。设A，B是Q的非空子集。如果Q=A∪B，且对任何α∈A，β∈B，必有α<β，则称(A，B)为Q 的一个划分。有理数的一个划分定义一个实数。对有理数的任一划分(A，B)，或者A有较大元，B无小元；或者A无较大元，B有小元；或者A无较大元，B无小元。第一、第二两种情形实质相同，此时称(A，B)定义一个有理数。在这两种情形下，令A的较大元或B的小元对应于(A，B)，就使有理数集自然地嵌入到实数集中。

对于实数x=(A1，B1)，y=(A2，B2)，如果A1嶅A2，则定义为x≤y。定义，其中。如果x≥0，y≥0，则定义，其中。其余情形的乘积由符号法则规定，例如当x≥0，y<0时，定义xy=-(x(-y))。在这样的定义下，一切实数构成一个阿基米德有序域。

对于实数系R的任一划分(A，B)，或者A有较大元，B无小元;或者A无较大元，B有小元。这表明对实数系再加以划分已不能产生新的数。这就是实数系的连续性。

由此可见，实数系可定义为具有完备性或连续性的阿基米德有序域。（见实数）。

从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形成。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问题。G.卡尔达诺在《 》(1545)中阐述一元三次方程解法时，发现难以避开复数。吉拉尔认为复数至少可以作为代数方程的形式解。也有不少数学家不承认复根，例如笛卡儿。事实上“虚数”这一称呼就始自笛卡儿。关于复数及其代数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪30年代由C.韦塞尔、J.B.阿尔根和C.F.高斯等人建立的。高斯引进了“复数”这一名词。

由实数定义复数的方法很多。例如，称实数的一个有序对(x，y)为一个复数。加法与乘法分别定义为一切复数的集C 构成一个域，令实数x对应于(x，0)，就使实数域嵌入于复数域中。y≠0的复数(x，y)，常称为虚数。(0，1)称为虚数单位，记为i。(见复数)

参考书目

艾·兰道著，刘绂堂译：《分析基础》，高等教育出版社，北京，1958。(E.G.H.Landou，Grundlαge der Analyse，Akademischer Verlag， Leipzig， 1934.)

参考文章

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