[拼音]：shuzhi weifen

[外文]：numerical differentiation

根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或某高阶导数的近似值。通常用差商代替微商，或用一能近似代替该函数的较简单的函数（如多项式、样条函数）的相应导数作为所求导数的近似值。例如，对带余项的插值公式ƒ(x)=I(x)+R(x)取k阶导数就得到带余项的数值微分公式，这里插值函数I(x)的k阶导数I(k)(x)即为所求k阶导数 ƒ(k)(x)的近似值，而插值函数余项R(x)的k阶导数R(k)(x)则给出此近似值的截断误差。

通常利用多项式插值进行数值微分。设函数ƒ(x)在n+1个等距点xv=α+vh（v=0，1，…，n）上的值ƒv=ƒ(xv)为已知，则通过低次插值可导出一些最基本和常用的数值微分公式，例如，两点公式 三点公式等等。此外，利用具有n+1个等距节点的拉格朗日插值公式，还可导出在节点xj(i=0，1，…，n)上的较为一般的数值微分公式

这里Ai，v、Bi，v仅与 n、i、v有关，而相应的截断误差可分别表成

式中因此，当节点的个数n+1固定时，间距h愈小，则截断误差也愈小。但是这时系数绝对值之和随h的变小而剧增，所以函数值ƒv的舍入误差对近似导数的影响也随h的变小而剧增。因此，h并非愈小愈好，而是要适中，这是数值微分不同于某些插值之处。如果函数ƒ(x)有很好的可微性，即存在绝对值不太大的较高阶导数，则宁取间距稍大而个数稍多的节点。当ƒ(x)在节点分布的整个区间上的可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分比利用多项式插值更适宜，只是计算量要大得多。

如果数据ƒv带有不容忽视的随机误差，而其对应的自变量分布甚密，就应该用曲线拟合代替上述函数插值，然后用拟合曲线的导数作为函数ƒ(x)的导数的近似值。这样求得的导数叫做磨光的导数。

参考书目

冯康等编：《数值计算方法》，国防工业出版社，北京，1978。

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