[拼音]：zhenghanshu

[外文]：integral function

整个复平面C内全纯的函数。根据外尔斯特拉斯，K.（T.W.）的观点，一个整函数ƒ(z)以任一点为中心的幂级数展式在整个复平面内收敛，因此无需进行解析开拓此展式即在整个C内代表此函数，并且显然是单值的。若整函数表示式中只有有限多个非零系数，则为一多项式，它是整函数的特殊情形，当p=0时，无穷远点是它的可去奇点；当p>0时，无穷远点是它的极点。若幂级数表示式中有无穷多个非零系数，则ƒ(z)为一超越整函数，它能看作是多项式的推广，无穷远点是它的本性奇点。例如，

是超越整函数。

这是多项式因子分解定理在整函数中的推广，它首先由外尔斯特拉斯于1876年所建立。多项式最基本的性质（代数基本定理）是:p次多项式在复平面内恰有p个根（按重级计算）。多项式的次数p还给出函数模当z→∞时增长速度的量度，即有

。

根据上述代数基本定理，每一多项式有惟一的乘积表示，亦称因子分解，即

式中α为常数，{zk}为零点，{αk}为相应的重数。上面的表示式将多项式的零点位置和相应的重数明显地表示出来；反之，总能构造一多项式使得它具有预先给定的零点和重数，它表为乘积的形式，且除去一个常数因子外是确定的。对一般整函数能够提出相同的问题，但与多项式的情形有很大的差别。例如，若ƒ(z)有无穷多个零点{zn}，设zn≠0，但不一定是收敛的，它的值可能依赖于因子的排列顺序；再者，存在不取零值的整函数，所以整函数的零点还不能象多项式一样可以决定它的基本性质。为了保证无穷乘积收敛，须对每个因子进行适当的修改，外尔斯特拉斯定义初等因子

并且有下述定理。

设 ：为整函数ƒ(z)的非零的零点，且满足，又设，为正整数列，使得级数对任一r为收敛，则无穷乘积

(1)

对任意z绝对收敛，此时

， (2)

式中g(z)为另一整函数；m为某个非负整数。

值得注意的是这里{pn}总是存在的，但不确定，因为任何更大的数列都能代替它。此外e亦不确定，且能任意快地增长。为了区分整函数的不同类，E.N.拉盖尔（1882）引进了格的概念，在某种意义下它类似于多项式的次数。设存在一数λ>0，使得收敛，则有一小的整数k≥0，使得 收敛。这时称为关于{zn}的典型乘积，k称为它的格。此典型乘积是惟一确定的。若进一步假设 (2)中的g(z)是q次多项式，则称p=Max{k，q}为ƒ(z)的格。

1883年（J.-）H.庞加莱指出整函数的模与其格的关系，并建立了下述定理。

庞加莱定理　若整函数ƒ(z)的格为p(<+∞)，则

，

式中M(r，ƒ)是ƒ(z)在│z│=r上的较大模。

与此相反的问题是由函数ƒ(z)的较大模的某种界来作出函数零点数的某种上界的估计，它由J.（-S.）阿达马于1896年所得到。由(F.-É.-J.-) É.波莱尔1897年所引入的函数增长级的概念能作为量度函数较大模增长速度的特征量，它在整函数理论中起着重要的作用，它定义为

。

注意到ƒ(z)-α与ƒ(z)具有相同的级，于是阿达马定理可以表述如下：

设 ƒ(z)为有穷ρ 级整函数，n(r，α)表示 ƒ(z)-α在│z│≤r内的零点数（按重数计算），则

19世纪末波莱尔综合和改进了(C.-)É.皮卡、庞加莱和阿达马的结果，开始形成了整函数值分布论（见函数值分布论）。

参考书目

G.Valiron，Lectures on the General Theory of Integral Functions，Toulouse，Edouard Privat，1923.

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