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线性代数群

[拼音]:xianxing daishuqun

[外文]:linear algebraic group

具有仿射代数簇结构的群。它是抽象群论与代数几何相结合的产物。

设G是代数闭域K上的代数簇,如果G还具有群的结构,并且群的乘积运算G×G→G与求逆元运算 G→G都是代数簇的态射,那么G称为K上的代数群。如果G是仿射簇,那么G称为仿射代数群或线性代数群;如果G是不可约的完备簇,那么G称为阿贝尔簇。虽然代数群的定义与拓扑群的定义十分相似,但是代数簇的积不是拓扑积而是扎里斯基积,所以一般地说,代数群不是拓扑群。

代数群的同态是兼为群的同态与代数簇的态射的一个映射;同构概念由此自然得出。易知,代数群的闭子群也是代数群。代数群的同态像是闭的,所以也是代数群。代数群关于它的正规闭子群的商群也是代数群。对任意代数群G,总可以惟一找到一个正规的仿射子群N,使G/N是阿贝尔簇。因此,代数群的研究主要是线性代数群与阿贝尔簇的研究。阿贝尔簇的研究属于代数几何范畴,阿贝尔簇的群结构很简单(都是阿贝尔群),而且被簇结构惟一确定(簇同构的两个阿贝尔簇一定同构)。线性代数群的研究则更多是按代数学观点进行,而成为与李群理论相平行的一个独立学科。

线性代数群理论的萌牙,可以追溯到19世纪末叶。当时L.毛瑞尔与(C.-)É.皮卡实际上已经研究了复数域上的线性代数群;皮卡把这些群用到线性微分方程的伽罗瓦理论中去。但是,在此后的半个世纪中,他们的这一工作并未引起人们的注意,而É.(-J.)嘉当与(C.H.)H.外尔在这期间对李群与李代数进行了深入的研究,所获成果促进了线性代数群理论的正式出现。20世纪40年代,C.谢瓦莱与段学复用李代数的方法,讨论了特征为零的任意域上的线性代数群,这是线性代数群理论诞生的前奏。1955年前后,线性代数群的一般理论终于由A.博雷尔与谢瓦莱等人提出来了。而后经博雷尔、R.施坦伯格和J.蒂茨等人的进一步发展,形成了一个较完美的数学体系,并对基础数学的许多领域诸如半单李群及其算术子群、典型群、有限单群、不变量理论等的发展起了重要的作用。

K的加法群Gα;K的乘法群Gm;K上所有n×n的非奇异矩阵在矩阵乘法上所成的群GL(n,K),即所谓K上的n次一般线性群;GL(n,K)中由行列式为1的矩阵组成的子群SL(n,K),即所谓K上的n次特殊线性群;GL(n,K)的其他闭子群等等都是线性代数群的例子,而且它们已具有相当的普遍性。任一线性代数群必同构于某个一般线性群的某个闭子群,这就是“线性代数群”这个术语的由来。以下均用G代表一个线性代数群。

把G嵌入为GL(n,K)的闭子群后,每个x∈G可以在GL(n,K)中进行若尔当分解:在GL(n,K)中有惟一的一对元素s与u,使得:

(1)s为半单元(即可对角化的元素),u为幂幺元(即所有特征根都是1的元素);

(2)su=x=us。可以证明s与u都在G中,而且G 的元素的这种分解与G到GL(n,K)的嵌入无关。于是,在G中就定义了半单元、幂幺元与若尔当分解的概念。

仅由半单元组成的连通、交换的线性代数群称为环面;仅由幂幺元素组成的线性代数群称为幂幺群。环面与幂幺群都是可解的,甚至是幂零的。更一般地说,任何连通可解线性代数群 B总可写成它的一个极大环面子群与它的极大幂幺子群的半直积,其中极大幂幺子群含有B的所有幂幺元,从而是正规的;当且仅当这个半直积是直积时,B是幂零群。

G的极大连通可解子群称为 G的博雷尔子群。G的所有博雷尔子群(对应地,极大环面子群、极大连通幂幺子群)都在G 轭;如果G是连通的,那么G的任一元素(对应地,半单元、幂幺元)一定在某个博雷尔子群(对应地,极大环面子群、极大连通幂幺子群)中。此外,G的环面子群的正规化子对中心化子的指数是有限的。

G有惟一的较大正规连通可解子群R(G),它称为G的根基;G还有惟一的较大正规连通幂幺子群Ru(G),它称为G的幂幺根基。显然,Ru(G)由R(G)中所有幂幺元组成。

如果Ru(G)是平凡的,就称G为简约线性代数群;如果G是连通的,且R(G)是平凡的,就称G为半单线性代数群。例如,GL(n,K)是简约的,而SL(n,K)是半单的。因为对任意连通线性代数群来说,G/R(G)总是半单的,R(G)的结构又比较简单,所以线性代数群理论的中心问题之一,是半单群的结构与分类。为叙述这方面的结果,首先介绍G的李代数与根系,并在以下假定G是连通的。

设K[G]为簇G到K的正则函数组成的K代数,则G以两种方式自然地作用在K[G]上:对所有x、y∈G,ƒ∈K[G],定义(λxƒ)(y)=ƒ(x-1y),(ρxƒ)(y)=ƒ(yx)。这两种作用分别称为左平移与右平移。

K线性映射x:K[G]→K[G]如果满足

x(ƒg)=x(ƒ)g+ƒx(g),

就称为K[G]的K导子;如果x还与所有的λx(x∈G)可换,就称x为K[G]的左不变K导子。如果x、Y都是左不变K导子,那么它们的任意K线性组合以及它们的换位子[x,Y]=x。Y-Y。x仍是左不变K导子。所以K[G]的左不变K导子全体组成K上的一个李代数g,它称为G的李代数。作为向量空间,g可以等同于G在恒等元处查里斯基切空间。

如果x∈g,x∈G,那么于是得到G在g上的伴随表示Ad:G→GL(g)。特别,把G嵌入为GL(n,K)的闭子群后,g是gL(n,K)(由K上所有n×n矩阵组成的李代数)的子代数。此时,G在g上的伴随作用就是矩阵的共轭。

固定G 的一个极大环面子群T,令H(T)为T到Gm的代数群同态全体,则H(T)是K[T]的单位元乘法群的子群。但是改用加法来记H(T)的群运算,并把它的元素称为T的特征标。设G是连通简约群,α是T的非零特征标,并且有非零向量x∈g,使得对所有t∈T都有Ad(t)x=α(t)x,则称α为G关于T的根。G关于T的根的全体φ =φ(G,T)满足抽象根系的所有公理,它称为G关于T的根系。它的外尔群同构于T的正规化子对中心化子(=T)的商群W =W(G,T)。由于从不同的极大环面得出的根系是同构的,有时就把φ 简称为G的根系,把W 简称为G的外尔群。

如果B是含T的博雪尔子群,那么W可以作为G关于(BB)的双陪集分解的代表元系,即,且是不相交的并。G的这个双陪集分解称为布鲁哈特分解。特别,由W 中最长的元素w0所代表的双陪集Bw0B是G的稠密开集,称为G的大胞腔。

如果G是半单的,那么H(T)含在φ生成的欧氏空间中,而且是Ф的根格Hr与权格Hw之间的一个格。半单线性代数群的分类定理断言:K上的半单线性代数群的同构类与二元组(φ,H)的同构类一一对应,这里φ是一个抽象根系,H是Hr与Hw之间的任意一个格。更确切地说,给定这样一个二元组,必有惟一的(在同构意义下)K上的半单线性代数群G(φ,H),使得G的根系同构于φ,在此同构下,G的极大环面的特征标群就是H。此外,若H1吇H2,则有典范的代数群满同态。因此,G(φ,Hw)覆盖了K上所有具有根系φ 的半单线性代数群,这个群称为普遍型的或单连通的;G(φ,Hr)被K上所有具有根系φ 的半单线性代数群覆盖,这个群称为伴随型的。

如果φ 是不可约根系,那么G(φ,H)称为殆单群。这是由于G(φ,H)的任一正规真子群都是有限的与中心的之故。特别,G(φ,Hr)是一个单群。由根系的分类定理知,殆单群有Al,Bl,Cl,Dl四个无限系列和E6,E7,E8,F4,G2五个例外类型。例如,SL(n,K)就是An-1型的单连通群。当φ可约时,φ的每一个不可约分支φi对应G=G(φ,H)的一个殆单正规子群Gi,所有这些Gi的直积到G的典范同态是满的,它的核是有限的与中心的。这些Gi称为G的殆单分支。如果殆单群不是例外类型的群,就称为典型群。

当K=C是复数域时,G(φ,H)在普通复拓扑下是个具有根系φ 的复半单李群。所以线性代数群理论可以看作李群理论的一个推广。

线性代数群理论还与有限单群的理论有密切联系。设K是具有素特征p的域,Fq是q=pr个元素的有限域。如果K上的线性代数群G具有Fq结构,即K[G]可以写成一个Fq子代数Fq[G]与K的张量积,而且由G的乘积运算与求逆元运算导出的K代数同态与可以限制为Fq代数同态与Fq[G]→Fq[G],那么,把Fq[G]的每个元素q次方得到的K代数同态K[G]→K[G]导出一个代数群同态F:G→G,它称为G的弗罗贝尼乌斯同态,其不动点G

参考书目

A.Borel,Lineαr Algebrαic Groups, Benjamin, New York, 1969. J.E.Humphreys,Lineαr Algebrαic Grαups,Grαduαte Text in Mathematics 21, Springer-Verlag, Berlin,1975.

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