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统计决策理论

[拼音]:tongji juece lilun

[外文]:statistical decision theory

由统计学家A.瓦尔德在1950年提出的一种数理统计学的理论,这种理论把数理统计问题看成是统计学家与大自然之间的博弈;用这种观点把各种各样的统计问题统一起来,以对策论的观点来研究。在此以前,人们对数理统计,主要是着眼于其推断的功能,亦即从观测数据出发对总体作出某种论断(见统计推断)。至于由此应该采取什么决策或行动,会产生什么后果,则被认为不属于统计的范畴。瓦尔德的理论则把后面这一部分内容也纳入统计的范围之内,这在数理统计学上是一项革新,有较大的实际意义。

在一个统计问题中,统计工作者掌握的资料是样本X=(x1,x2…,xn),X所来自的总体的分布Fθ中包含的参数θ为未知,而只知道θ所属的 (为θ所有可能取值的 ,称为参数空间)。但是,采取什么决策较好,则取决于未知的θ值。用形象化的说法,θ是由大自然在参数空间中选定的,人们力图去找到它。大自然掌握了θ的秘密,而这个秘密又通过样本泄 来,统计工作者的任务就是根据样本 X中所包含的关于θ的信息,去作出良好的决策。例如,一家商店根据抽样决定是否接受一批来货,一个工厂根据市场调查的结果决定某种产品生产多少等,希望所采取的行动取得尽可能好的效果,或者说,使“行动不当”所造成的损失尽可能小。

统计决策三要素

可以通过三个要素把一个统计决策问题表达出来。

(1)样本空间 H与样本分布族{Fθ:θ∈}这个要素规定了问题的概率模型。样本空间是样本可能的取值范围,而样本分布族是样本所可能遵从的分布的 。

(2)行动空间A  它是统计工作者可以采取的单纯策略(或称行动)的 。例如,设 θ为一维参数,要对θ作区间估计,则实轴上任一区间[α,b)]构成一个单纯策略,这时行动空间为所有[α,b)]构成的 ,即{[α,b)]:-∞<α≤b<∞}。若问题是要检验有关 θ的假设,则行动空间 A由α0(接受假设)和α1(拒绝假设)两个元素构成。

(3)损失函数L 统计决策理论有一个基本出发点:所采取的行动的后果可以数量化。设参数真值为 θ,统计工作者采取的行动为α,则所遭受的损失可表为 α与θ的函数L(θ, α),称之为损失函数。在一个具体问题中,采取什么损失函数较好,是一个需要进行大量调查研究以至理论工作的问题,这也是在使用决策理论时的一个困难点。

统计决策函数

当三个要素都已给定时,统计工作者采取什么行动,取决于他所掌握的样本。求一个统计决策问题的解,就是制定一个规则,以便对样本空间中每一点,在行动空间中都有一个元素与之对应,也就是找一个定义于样本空间 H而取值于行动空间A的函数或分布函数δ,当有了样本X=尣,就按δ(尣)采取行动,称δ为决策函数。用对策论的语言,δ就是统计工作者所采取的策略。

选择决策函数的准则

对一个统计决策问题,为选定一个较优的决策函数,需要建立反映决策函数优劣的指标。风险函数R(θ,δ)就是这样的指标,定义为R(θ,δ)=Eθ [L(θ,δ(X))],即采取决策函数δ而参数真值为θ时所遭受的平均损失。风险函数愈小,决策函数愈好。在这个原则下,可以引进种种更具体且可行的准则。

(1)容许性准则  设δ为一决策函数,若存在另一决策函数δ,使对一切θ∈有R(θ,δ)≤R(θ,δ),且不等号至少在中的某一点成立,则称δ为不可容许的,否则为可容许的。从风险愈小愈好的原则出发,当δ不可容许时,便没有理由使用它。判定一个决策函数是否可容许,是统计决策理论中一个重要而且困难的问题。在风险函数愈小愈好的原则下,若存在决策函数δ0,对一切θ∈必成立R(θ,δ0)≤R(θ,δ),其中δ为任一决策函数,则δ0是较好的决策函数,称为一致较优决策函数。但这种决策函数一般不存在,因而不得不放宽条件,常采用的有两种方法:一种是不对风险函数在上作逐点比较,而采用某种综合性指标;另一种方法是先从一定角度对允许使用的决策函数加以一定限制,然后再找一致较优的,从而又引出下列准则。

(2)小化较大准则 较大风险是一种综合性指标,若存在使较大风险小的决策函数δ,使得对一切决策函数δ都有:M(δ)≥M(δ),则称δ是小化较大决策函数,它反映了一种较稳健或保守的策略思想。

(3)贝叶斯准则 它以贝叶斯风险为指标, 在参数空间上选定一概率测度ξ,称ξ为θ(θ∈)的先验分布,而称为决策函数δ的相对于ξ的贝叶斯风险,它也是一个综合性指标。若对一切决策函数δ都成立,称δ为ξ的贝叶斯决策函数。

(4)较优同变性准则 这是一种在限制决策函数有同变性的条件下,求一致较优决策函数的准则。同变性是指当问题由于平移、刻度等变换而发生变化时,相应的决策(对策)也能有同步地变换的性质。例如,在正态总体N(μ,1)中抽样x1,x2,…,xn以估计μ,若将度量原由零点(O)移到с处,则样本在新坐标系下变为x1+с,x2+с…,xn+с,而参数变为μ+с,如果接受“估计结果不应与坐标原点的取法有关”的原则,则所用的决策δ应满足:对任何实数с,有;称这样的 δ在平移变换下有同变性。可以在样本空间H上考虑更复杂的一一变换群,而定义在这个变换群之下的同变性,在所有具有同变性的决策函数类中,风险一致小的决策函数被称为较优同变决策函数。

在点估计中,限制使用的估计量有无偏性,采用平方损失函数,在这个限制下,一致较优估计量就是一致小方差无偏估计。这是另一个在限制决策函数下,求一致较优策略的例子。

一旦选定了优良性标准,统计决策问题的解决,就相当于一个数学上的较优化问题。1950年后的几十年来在这方面做了不少工作,这不仅使统计问题有了严格的数学提法,同时也在形式上部分地突出了瓦尔德的想法,把形式不一样的统计问题归并在一个模式下统一处理。决策函数的观点使统计更注重了所采取行动的效果,也使统计问题提法更加多样化,从而开拓了某些新的研究领域,例如前面提到的关于容许性及小化较大准则的研究。因此,瓦尔德的理论受到统计学界的重视,成为二次大战后统计学史上一个重大事件。但是,在这个问题上的看法也并不一致,英国统计学家M.肯德尔认为“损失的数量化”并非在任何情况下都合理可行,而且他还认为,把统计问题归之于统计工作者与大自然之间的博弈的观点,是值得怀疑的。

参考书目

A. Wald,Statistical Decision Functions, John Wiley & Sons, New York, 1950.

J.O.Berge,Statistical Decision Theory, John Wiley & Sons, New York, 1980.

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