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流形

[拼音]:liuxing

[外文]:manifold

一类特殊的连通、豪斯多夫仿紧的拓扑空间,在此空间每一点的邻近预先建立了坐标系,使得任何两个(局部) 坐标系间的坐标变换都是连续的。这里所说在一点邻近建立坐标系就是:存在这个点的一个邻域U 和一个同胚映射φ:U→V,其中V是某个欧氏空间Rn中的开集。这样的φ可看成U上n个函数,它们就给出U 中点的坐标。在上面流形的定义中,若坐标变换皆是连续可微的,则进一步称空间为微分流形。流形的概念最早是由B.黎曼在1854年提出的。

下面是流形的例子。S2是通常三维欧氏空间中的单位球面,易见S2是连通、豪斯多夫、仿紧的拓扑空间。对S2上任意一点p,做过p点的切平面πp,在πp中建立笛卡儿坐标系。再从S2的球心做射线,当射线与S2和Πp同时相交时,记交点分别为q、悧。这时令S2中q点的坐标就是悧的笛卡儿坐标,这样就在p点邻近建立了局部坐标系。不难验证,用上述办法建立S2中各点邻近的局部坐标系,其坐标变换皆是可微的,从而S2是微分流形。仿照这里讨论可知实数集、初等曲线、圆周、环面、欧氏空间都是流形。

流形最重要的特性是:有局部坐标系。这个特性并不奇特,以至流形能广泛地出现在物理、几何问题之中。同时这个特性又使人们可系统地运用坐标方法,从而导致富有成效的研究。因此流形成为数学中一个重要概念是不会令人惊讶的。

有了局部坐标,可以确定微分流形之间的可微映射概念,那是指一个映射ƒ∶M→N,其中M和N是微分流形,使得当ƒ 用局部坐标表示时,它是坐标的连续可微函数组。如果ƒ有逆映射ƒ-1,并且ƒ-1也是连续可微的,则称ƒ是微分同胚。有一个特别的情形值得注意,当N是实数集时,称上述可微的ƒ为M上的可微函数。不难在M上的可微函数的 中引进函数加法、乘法运算,于是可微函数 就成了一个函数环。利用这个函数环可以派生出微分流形上的下列诸概念:切向量场(函数环的导算子),李括号运算以及它们的对偶陈述(外微分式,外微分算子),此外还有定积分概念。借助于这些基本概念,就可以开展微分流形上的各种研究了。

对流形的研究还有一套组合方法,(J.-)H.庞加莱对这种方法的出现起了决定性作用。那是预先假定流形“剖分”成一些单形之和,使各单形之间是规则相处的。在这里单形是指:0维单形是一个点,1维单形是一条线段,2维单形是三角形,n维单形是具有n+1个顶点的广义三角形。从“剖分”出发,创造出链群和边缘算子概念,再用有限的代数算法导出同调群,进而开展研究(见同调论)。

关于流形的重要结果有:斯托克斯公式,示性类,德·拉姆同构,对偶定理。

考虑上面对流形研究的前提,自然要问,一个流形是否可以变成微分流形,是否可以剖分?也就是说,一个流形有没有微分结构、剖分(组合)结构的问题。当考虑一个流形上给定了两个微分结构,这便得到两个微分流形M1,M2。如果存在一个微分同胚ƒ:M1→M2,则称这两个微分结构是相同的。于是进一步又问:一个流形上的微分结构有多少个?类似地,组合结构又有多少个?对流形的深入研究集中在:流形上的微分结构,组合结构的存在性,惟一性问题,另外还研究这两种结构的关系,流形的各种意义下分类等问题。对流形的研究已做出许多令人振奋的结果,但也留下许多未解决的难题。

上述的流形是有限维无边的,类似地有有限维带边流形的概念。此外,在许多数学场合中出现无限维流形,不过对无限维流形的研究远不及有限维情形。

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